funcion de transferencia en sistemas lineales

Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM

La función de transferencia de
sistemas lineales

México D.F. a 21 de Agosto de 2006

La función de transferencia

L c(t )
Función de transferencia 
L r (t )

c(t )  salida
r (t )  entrada

con condicione s iniciales cero

La función de transferencia
de un sistema se define como latransformadade transferencia: la variable de salida y la transformada de
La función de Laplace de
Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero.
•Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales
lineales invariantes en el tiempo.
•Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema.
•Depende de las características del sistema y node la magnitud y tipo
de entrada
•No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema

La función de transferencia
Ejemplos de funciones de transferencia:
R

1.- Circuito RL
Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene:

di
v(t )  Ri (t )  L
dt

i (t )
v(t )

Figura 1. Circuito RL

Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero:V ( s)  RI ( s)  LsI ( s)
la relación corriente voltaje en Laplace, queda:

1
R

I (s)

V (s) L s  1
R

L

La función de transferencia
2.- Sistema masa amortiguador resorte
Utilizando las leyes de Newton, se obtiene:

d2y
dy
m 2  b  ky(t )  r (t )
dt
dt
donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa,
k es la constante del resorte, y (t ) es eldesplazamiento y r (t )

k

b

es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es:



 



m

M s 2Y ( s)  sy(0 )  y ' (0 )  b sY ( s)  y(0 )  KY ( s)  R( s)
considerando:

y ' (0 )  0, y (0 )  0,

Ms 2Y ( s)  bsY ( s)  KY ( s)  R( s)

Y ( s)
1

La función de transferencia es:
R( s ) Ms 2  bs  K

y(t)
r(t)

Figura 1. Sistema masa
Amortiguadorresorte.

La función de transferencia
2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial
Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entonces para
conservar la condición una entrada una salida se hace r (t )  0



 



M s 2Y ( s)  sy(0 )  y ' (0 )  b sY ( s)  y(0 )  KY ( s)  R( s)
condiciones iniciales

r (t )  0, y ' (0 )  0, y(0 ) y0 ,

La función de transferencia es:

Y ( s) 

y0 ( Ms  b)
Ms 2  bs  K

Ahora el desplazamiento
solo depende de la
posición inicial y los
parámetros del sistema.

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Tipo de
elemento

Elemento
físico

Ecuación
representativa

I
n
d
u
c
t
a
n
c
i
a

Inductancia
eléctrica

di
v21  L
dtResorte
traslacional

v21 

1 df
k dt

Símbolo

i

L
v2

v1

f

f
v1

Resorte
rotacional

1 dT
21 
k dt

v2

1
T1

2
T2

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Capacitancia
eléctrica

C
a
p
a
c
i
t
a
n
c
i
a

f m
Masa

Inercia

Capacitancia
fluídica

i

dv
i  C 21
dt

v1

dv
dt

m

f

vd
T j
dt

q21  C f

dp21
dt

v2

C

T
j
p2
p1

q1

q2

Cf
Capacitancia
térmica

q  Ct

dT
dt

q
T

Ct

La función de transferencia
Resumen de las leyes de elementos
Resistencia
eléctrica

R
e
s
i
s
t
e
n
c
i
a

Amortiguador
traslacional
Amortiguador
rotacional

i

1
i  v21
R

f  bv

T  b 21

v1

v2

R

b

fv21

T

T

1

2

b
Resistencia
fluídica

q

1
p21
Rf

q

p1

p2

Rf
Resistencia
térmica

1
q  T21
Rt

f

q
T1

Rt

T2

Diagramas de bloques
La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite
representar las relaciones de un sistema por medios
diagramáticos.
Diagrama a bloques
Los diagramas de bloques de un sistema son bloques...