funcion de transferencia

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

7 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA – SISTEMAS DE PRIMER
ORDEN
Introducción
Trabajar en el dominio de Laplace no solamente es útil para la resolución matemática de
ecuaciones sino que se presta especialmente para ser utilizado con el concepto de
función de transferencia. En general un proceso recibe una entrada u(t) y genera una
salida y(t). Si llevamos estasseñales al dominio de Laplace tendremos una entrada
U(s) que genera una salida Y(s). La función que relaciona salida con entrada se
denomina función de transferencia g(s).

De modo que Y(s) = g(s)×U(s) .

Sistemas de primer orden
Se denominan sistemas de primer orden a aquellos en los que en la ecuación general
aparece solamente la derivada primera del lado izquierdo (el de la variable deestado). O
sea que se reducen al formato siguiente:

τ

dy
yk u
dt

donde k se denomina ganancia del proceso y  es la constante de tiempo del sistema.
En general encontraremos que la ecuación está escrita en función de las variables
“desviación” respecto al valor de estado estacionario. Por lo tanto en general y(0) = 0 ,
u(0) = 0 . Tomando transformadas de Laplace

τsY s   y 0  Ys   kU s 
τsY s   Y s   kU s 
τs  1Y s   kU s 

Y s  

k
U s 
τs  1
Y s   g s U s 
k
g s  
τs  1
Veamos un ejemplo: un tanque completamente agitado que recibe un caudal v y se le
extrae el mismo caudal:
ILM

1

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Del balance de materia

d VC 
 vCin  vC
dt

Como V es constante porque entra y sale elmismo caudal

dC v
v
 Cin  C
dt V
V
Estado estacionario: dC/dt = 0 ; Cs= Cin . Por lo tanto

d C  Cs  v
v
 Cin  Cin s  C  Cs 
dt
V
V





V d C  Cs 
 C  Cs   Cin  Cin s
v
dt





Que es de la forma

τ

dy
yk u
dt

donde = V/v , y = C – Cs , u = Cin – Cin s

Respuestas de sistemas de primer orden a diferentes entradas
Seguimosmanejándonos con el esquema

donde

g s  

k
 s 1

Escalón de magnitud U a tiempo t = 0
Sabemos que
U
LU  
s
Por lo tanto

ILM

Y s  

k U
sτs  1
2

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Tomando antitransformadas

 1 
t τ
L-1 
  1 e
 sτs  1



O bien

yt   kU 1  et τ


yt 
 1  e t τ
kU



Que escrito en formaadimensional es



1
0.9

salida adimensional

0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0

0

0.5

1

1.5

2

2.5
t/tau

3

3.5

4

4.5

5

Por ejemplo: consideremos un tanque de V = 5m3 con v = 1 m3/min, concentración en
estado estacionario 1.25 mol/m3. Considerar un cambio en la concentración de entrada
desde 1.25 mol/m3 a 1.75 mol/m3.
U = 0.5 mol/m3

U 0.5
s
s
1 0.5
Y s  
5s  1 s

U s  

 = 5 min

Por lo tanto la respuesta en el dominio del tiempo será





yt   0.5 1  et 5
Siendo y la variable reducida por lo que la concentración en el tanque será



C t   1.25  0.5 1  e

t 5



1.75
1.7
1.65

C (mol/m3)

1.6
1.55
1.5
1.45
1.4
1.35
1.3
1.25

0

5

10

15

20

25

t (min)Ver „ejem7.1.sce‟ y „ejem7.1.cos‟ (este último en Scicos).
ILM

3

DINÁMICA Y CONTROL DE PROCESOS

Conociendo la respuesta de una función de primer orden a un escalón en la entrada se
pueden estimar los parámetros de la función de transferencia del proceso:
Estimación de la ganancia:

k

y t 
y

U t  U

k  lim Gs 

O bien

s 0

Estimación de la constantede tiempo:
Identificando el valor de tiempo en el cual la respuesta vale 0.632 del valor final:





yτ   k U 1  e1  0.632 k U

 

dy kU t τ

e
dt
τ

O bien evaluando

dy
kU

dt t 0
τ

en t = 0

Ejemplo: El operador de un proceso realiza un cambio en el caudal de entrada pasando
de 20 a 17.5 gal/min y encuentra que la presión cambia de 50 a 55 psig...