Funcion De Transferencia
Páginas: 9 (2236 palabras)
Publicado: 16 de abril de 2012
CURSO: TEORÍA DE CONTROL
PROFESOR: RUBÉN DARÍO VÁSQUEZ SALAZAR
CORREO: rubenvasquez@itm.edu.co
OFICINA: Bloque I piso 2
[pic]
CAPÍTULO 6 – ANÁLISIS DESDE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
ANÁLISIS DESDE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
En capítulos anteriores se ha estudiado el procedimiento para obtener una función de transferencia de un sistema a partir de susleyes de conservación, obteniendo una o varias ecuaciones diferenciales y resolviendo utilizando la transformada de Laplace.
La función de transferencia se definió como la relación entre la salida y la entrada en estado estable, es decir:
[pic]
Despejando se tiene: [pic]
Así, como ya se conoce la función de transferencia se puede suponer la entrada para obtener la salida del sistema. Estasalida también se conoce como respuesta del sistema y se divide en respuesta en estado estable y respuesta transitoria.
La respuesta transitoria se presenta cuando hay un cambio en la entrada pero desaparece después de un breve intervalo.
La respuesta en estado estable es la que permanece después que desaparecen todos los transitorios.
1 Respuesta de los sistemas ante diferentesentradas
Para obtener la respuesta de un sistema entonces sólo basta con estimularlo con diferentes entradas y observar su comportamiento. Algunas de las entradas más utilizadas son: escalón, impulso y rampa unitaria.
• Escalón unitario, cuya transformada de Laplace es [pic]
• Impulso unitario, cuya transformada de Laplace es [pic]
• Rampa unitaria, cuya transformada de Laplacees [pic]
Ejemplo 6.1. Considérese un circuito RC, un sistema térmico o cualquier sistema que cumpla el diagrama de bloques de la Figura 16. Calcule su respuesta (salida) ante diferentes entradas.
[pic]
Figura 16. Diagrama de bloques del ejemplo 6.1
Notando que el sistema tiene realimentación unitaria negativa, su función de transferencia es:
[pic]
a) Respuesta anteescalón unitario:
[pic]
Dividiendo en fracciones parciales:
[pic]
La transformada inversa de [pic] es [pic], para [pic].
Para [pic], [pic]
Para [pic], [pic]
Para [pic], [pic]
En este último caso, indica que para [pic] el sistema alcanzó el 63.2% de su cambio total.
En general
|t |% de respuesta |
|0 |0|
|T |63.2 |
|2T |86.5 |
|3T |95 |
|4T |98.2 |
|5T |99.3 |
|[pic] |100 |
b) Respuesta ante impulso unitario:
[pic]
Obteniendo transformada inversa de Laplace:
[pic], para[pic].
[pic]
Figura 17. Respuesta impulso del ejemplo 6.1
c) Respuesta ante rampa unitaria:
[pic]
Obteniendo transformada inversa de Laplace:
[pic], para [pic].
La señal de error es [pic]
La tendencia es a [pic]
Cuando [pic], [pic]
Cuando [pic], [pic]
Cuando [pic], [pic]
Cuando [pic], [pic]
[pic]Figura 18. Respuesta rampa del ejemplo 6.1
En este ejemplo se pudo notar que el sistema fue capaz de corregir el error ante una entrada escalón e impulso unitario, pero no fue capaz de hacerlo ante la entrada rampa unitaria. Esto se puede analizar a partir de la función de transferencia del sistema, conociendo su orden antes de ingresarle diferentes entradas.
2 Orden de los sistemasEl orden de un sistema está dado por la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
Algunas formas generales para los diferentes órdenes son:
1 Forma general de un sistema de primer orden:
[pic]
Resolviendo la ecuación diferencial con condiciones iniciales cero a través de la transformada de Laplace:
[pic]
Cuya función de transferencia es igual a la del ejemplo si se...
PROFESOR: RUBÉN DARÍO VÁSQUEZ SALAZAR
CORREO: rubenvasquez@itm.edu.co
OFICINA: Bloque I piso 2
[pic]
CAPÍTULO 6 – ANÁLISIS DESDE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
ANÁLISIS DESDE LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA
En capítulos anteriores se ha estudiado el procedimiento para obtener una función de transferencia de un sistema a partir de susleyes de conservación, obteniendo una o varias ecuaciones diferenciales y resolviendo utilizando la transformada de Laplace.
La función de transferencia se definió como la relación entre la salida y la entrada en estado estable, es decir:
[pic]
Despejando se tiene: [pic]
Así, como ya se conoce la función de transferencia se puede suponer la entrada para obtener la salida del sistema. Estasalida también se conoce como respuesta del sistema y se divide en respuesta en estado estable y respuesta transitoria.
La respuesta transitoria se presenta cuando hay un cambio en la entrada pero desaparece después de un breve intervalo.
La respuesta en estado estable es la que permanece después que desaparecen todos los transitorios.
1 Respuesta de los sistemas ante diferentesentradas
Para obtener la respuesta de un sistema entonces sólo basta con estimularlo con diferentes entradas y observar su comportamiento. Algunas de las entradas más utilizadas son: escalón, impulso y rampa unitaria.
• Escalón unitario, cuya transformada de Laplace es [pic]
• Impulso unitario, cuya transformada de Laplace es [pic]
• Rampa unitaria, cuya transformada de Laplacees [pic]
Ejemplo 6.1. Considérese un circuito RC, un sistema térmico o cualquier sistema que cumpla el diagrama de bloques de la Figura 16. Calcule su respuesta (salida) ante diferentes entradas.
[pic]
Figura 16. Diagrama de bloques del ejemplo 6.1
Notando que el sistema tiene realimentación unitaria negativa, su función de transferencia es:
[pic]
a) Respuesta anteescalón unitario:
[pic]
Dividiendo en fracciones parciales:
[pic]
La transformada inversa de [pic] es [pic], para [pic].
Para [pic], [pic]
Para [pic], [pic]
Para [pic], [pic]
En este último caso, indica que para [pic] el sistema alcanzó el 63.2% de su cambio total.
En general
|t |% de respuesta |
|0 |0|
|T |63.2 |
|2T |86.5 |
|3T |95 |
|4T |98.2 |
|5T |99.3 |
|[pic] |100 |
b) Respuesta ante impulso unitario:
[pic]
Obteniendo transformada inversa de Laplace:
[pic], para[pic].
[pic]
Figura 17. Respuesta impulso del ejemplo 6.1
c) Respuesta ante rampa unitaria:
[pic]
Obteniendo transformada inversa de Laplace:
[pic], para [pic].
La señal de error es [pic]
La tendencia es a [pic]
Cuando [pic], [pic]
Cuando [pic], [pic]
Cuando [pic], [pic]
Cuando [pic], [pic]
[pic]Figura 18. Respuesta rampa del ejemplo 6.1
En este ejemplo se pudo notar que el sistema fue capaz de corregir el error ante una entrada escalón e impulso unitario, pero no fue capaz de hacerlo ante la entrada rampa unitaria. Esto se puede analizar a partir de la función de transferencia del sistema, conociendo su orden antes de ingresarle diferentes entradas.
2 Orden de los sistemasEl orden de un sistema está dado por la derivada de mayor orden de la ecuación diferencial.
Algunas formas generales para los diferentes órdenes son:
1 Forma general de un sistema de primer orden:
[pic]
Resolviendo la ecuación diferencial con condiciones iniciales cero a través de la transformada de Laplace:
[pic]
Cuya función de transferencia es igual a la del ejemplo si se...
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