Funcion de transferencia2015

Conceptos y ejemplos
1. ¿Qué se requiere para diseñar el controlador?
¿Por qué?
2. ¿Por qué es importante la modelación?
3. ¿Cuál es el rol de la transformada de Laplace?
4. ¿Qué indica la función de transferencia?
5. Analizar el ejemplo resuelto y explicar cómo se
resolvió
6. ¿Cuáles son las dos principales funciones a
obtener de una ecuación diferencial?

Procesos automatizados
• Un modernoavión comercial

Ejemplos de procesos
automatizados
• Satélites

Ejemplos de procesos
automatizados
• Control de la concentración de un producto en
un reactor químico

Ejemplos de procesos
automatizados
• Control en automóvil

El proceso de diseño del sistema
de control
• Para poder diseñar un sistema de control
automático, se requiere
– Conocer la ecuación diferencial que
describe elcomportamiento del proceso a
controlar.
– A esta ecuación diferencial se le llama
modelo del proceso.
– Una vez que se tiene el modelo, se puede
diseñar el controlador.

Conociendo el proceso …
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Suspensión de un automóvil
f(t)

z(t)

m
k

Fuerza de
entrada

Desplazamiento,
salida del sistema

b

 F ma
dz (t )
d 2 z (t )
f (t )  kz (t )  b
m
dt
dt 2

Conociendo el proceso…
•MODELACIÓN MATEMÁTICA
Nivel en un tanque
Flujo que entra – Flujo que sale =
Acumulamiento
qi(t)

dh(t )
qi (t )  qo (t )  A
dt
h(t )
R
qo (t )

Flujo de
entrada
h(t)
A
(área del
tanque)

qo(t)
R
(resistencia
de la válvula)

Flujo de
salida

1
dh(t )
qi (t )  h(t )  A
R
dt

Conociendo el proceso…
• MODELACIÓN MATEMÁTICA
Circuito eléctrico

di (t )
1
ei (t )  L
 Ri (t ) 
i (t )dt
dt
C
1
i (t)dt eo (t )
C





El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil
dz (t )
d 2 z (t )
f (t )  kz (t )  b
m
dt
dt 2
Aplicando la transformada de Laplace a cada término
(considerando condiciones iniciales igual a cero)
F ( s )  kZ ( s)  bsZ ( s ) ms 2 Z ( s )



F ( s ) Z ( s ) ms 2  bs  k
Z (s)
1

F ( s) ms 2  bs k



Función de
transferencia

El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Nivel en un tanque
1
dh(t )
h(t )  A
R
dt
Aplicando la transformada de Laplace
qi (t ) 

1
Qi( s )  H ( s )  AsH ( s )
R
1
Qi( s )  H ( s )( As  )
R
H ( s)
1
R


Qi ( s ) As  1 ARs  1
R

Función de
transferencia

El rol de la transformada de
Laplace
Conviertiendoecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Circuito eléctrico
di (t )
1
1
 Ri (t ) 
i (t )dt
i (t )dt eo (t )
dt
C
C
Aplicando la transformada de Laplace
1
1
E i ( s)  LsI ( s)  RI ( s) 
I ( s)
I ( s )  Eo ( s )
Cs
Cs
Combinando las ecuaciones (despejando para I(s))
1
E i ( s)  Ls CsEo ( s )  R CsEo ( s)   CsEo ( s)
Cs



ei (t )  L







E i ( s)  Eo ( s ) LCs 2  RCs  1
Eo ( s)
1

Eo ( s ) LCs 2  RCs  1

Función de
transferencia

La función de transferencia
• Nos indica como cambia la salida de un proceso
ante un cambio en la entrada
Y ( s)
Cambio en la salida del proceso

X ( s) Cambio en la entrada del proceso
Y ( s) Respuesta del proceso

X (s)
Función forzante

• Diagrama de bloques
Entrada del proceso
(función forzante o
estímulo)

Proceso

Salida delproceso
(respuesta al
estímulo)

La función de transferencia
Diagrama de bloques
• Suspensión de un automóvil
Entrada
(Bache)

1

Salida

ms  bs  k

(Desplazamiento del
coche)

2

­3

10

3

x 10

8

2

6
4

1

2

0
0
­2

­1

­4

­2
­6
­8
­10

­3

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

­4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3
4

x 10

La función de transferencia
Diagrama de bloques
•Nivel en un tanque
Qi(s)

H(s)

R
ARs  1

(Aumento del flujo de
entrada repentinamente)

(Altura del nivel en el
tanque
25

20

20

15

15
10
10
5
5
0
0

­5

­10

­5

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

­10

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

10000

La función de transferencia
Diagrama de bloques
• Circuito eléctrico
Ei(s)

1

Eo(s)

(Voltaje de...