Funcion de utilidad y demanda

Preferencias, Función de Utilidad, y el
Problema de Maximización de la Utilidad.
J.C.Segura-Ortiz
Profesor Asistente, Facultad de Economía
Escuela Colombiana de Ingeniería
Bogotá, D.C., Colombia

Se han descrito y definido los elementos básicos del problema de elección del
consumidor:
• Su conjunto de Elección;
• Las restricciones que Enfrentan; y
• Sus preferencias.
En un contextocompetitivo (los consumidores son tomadores de precios), los
precios y la riqueza entran como un dato y la conducta del consumidor consiste
en escoger el mejor plan de consumo alcanzable, esto es:
Encontrar
x∈
preferencias ≿

p,

que sea un elemento máximo de la relación de

Un problema complicado e impráctico, ciertamente.

Por fortuna se ha logrado definir una función continua que acada plan de
consumo le asigna un número único si es estrictamente preferido a otro. Este
resultado, desde el punto de vista formal, se resume en la siguiente definición:
Definición 1: La función : → ℝ representa el preorden de preferencias ≿
si para todo x , x ∈ se observa:
La función

≥

x

⟺

≿x

se conoce como función de utilidad del i-ésimo consumidor.

Sobre la existenciade dicha función ya se han adelantado las pruebas en clase (el
estudiante deberá estar en la capacidad de replicar las pruebas y los resultados
pertinentes). Debreu (1959) aporta un resultado general al respecto:

Teorema 1: Sea ≿ una relación de preferencias definida sobre un subconjunto
conexo de ℝℓ . Entonces la relación ≿ puede representarse mediante una función
de utilidad contínua si ysolo si ≿ es completa, transitiva (racional) y contínua.

Clases de Funciones de Utilidad
Las funciones de utilidad son susceptibles de ser clasificadas según diversas
propiedades que exhiben.
Funciones Monótonas y Estrictamente Cuasi-Cóncavas
La monotonía de las preferencias es heredada por la función de utilidad.
Considere la siguiente definición:
Definición 2: (Monotonía) La Función :todo , ∈ , ≫ ⟹
>

⊂ ℝ → ℝ se dice monótona si para

De esta definición se deriva que la función de utilidad construida sobre la
formulación axiomatica de las preferencias es, además de continua, monótona.

No Saciedad y No Saciedad Local
La No Saciedad y la No Saciedad Local de las preferencias se traduce
inmediatamente en la función de utilidad. En efecto, considere las siguientesdefiniciones
Definición 3: (No Saciabilidad). La función :
todo ∈ ℝℓ existe un ∈ ℝℓ tal que
>

→ ℝ se dice no saciable si para
.

Definición 3A: (No Saciabilidad Local). La función : → ℝ se dice no saciable
localmente si para todo
∈ ℝℓ y para todo escalar ℰ > 0, existe algún
∈
, ℰ tal que
>
..

Una Función de Utilidad Cuasi-Cóncava Representa Preferencias
Estrictamente ConvexasPara demostrar este aserto, partamos de la definición común de función
estrictamente cuasi-cóncava (ver Escobar [2005])
Definición 4 (Funciones Estrictamente cuasi-cóncavas) Se dice que una
función : ⊂ ℝ → ℝ es estrictamente cuasi-cóncava si para todo , ∈ y
cualquier ∈ 0,1 se verifica:
≥

→

+ 1−

>

Recuerde que una relación de preferencias ≿ se dice estrictamente convexa si
dados , ∈, y cualquier ∈ 0,1 se verifica
≿

→

+ 1−

≻

Por lo tanto, si existe una función : ℝℓ → ℝ que representa adecuadamente
la relación de preferencias ≿ , esta funcion ha de ser tal que:
≥

⇔

≿

De modo que por la definición de convexidad estricta de las preferencias, y la
definición de función estrictamente cuasi-cóncava,
+ 1−

>

⇔

+ 1−

≻

Observación 1: Cuando lafunción de utilidad es estrictamente cuasi-cóncava, el
problema de maximización de la utilidad sobre el conjunto presupuestal admite
cuando más una solución.
Observación 2: Al maximizar una función estrictamente cuasi-cóncava sobre un
conjunto convexo (como el conjunto presupuestario), todo máximo local es un
máximo global (por el Teorema Global-Local).

Funciones de Utilidad Homogéneas...