funcion diferenciable

Función diferenciable
El concepto de función diferenciable es una generali- 3 Funciones reales de una variable
zación para el cálculo en varias variables del concepto
más simple de funciónderivable. En esencia una función
Una función real de una variable que admite derivada en
diferenciable admite derivadas en cualquier dirección y
todos sus puntos y tal que dicha derivada sea continua espuede aproximarse al menos hasta primer orden por una
trivialmente una función diferenciable. Por esa razón paaplicación afín.
ra funciones reales de una variable el concepto de función
Laformulación rigurosa de esta idea intuitiva sin embar- derivable y función diferenciable son básicamente equigo es algo más complicada y requiere de conocimientos valentes.
de álgebra lineal. Debe notarseque aunque una función
Sin embargo, para funciones de más de una variable la side varias variables admita derivadas parciales según cada
tuación es más complicada. Ya que la existencia de deriuna desus variables no necesariamente eso implica que
vadas no comporta que una función sea automáticamente
sea una función diferenciable.
diferenciable.

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Definición

4 Ejemplos para funciones dedos
variables

Una función de múltiples variables f : Ω ⊂ Rn → Rm
se dirá diferenciable en x0 ∈ Rn si, siendo Ω un conjunto
abierto en Rn , existe una transformación lineal T que
4.1
cumpla:De función diferenciable

La función f(x,y) es diferenciable, si x, y son diferentes de
0 puesto que existen las derivadas parciales en un entorno
de cualquier punto y son continuas en él:

f(x0 + h) = f (x0 ) + T (h) + θ(h)
Donde θ(h) cumple que:

f (x, y) = ex+y
limh→0

∥θ(h)∥
∥h∥

=0

4.2 De función derivable no-diferenciable

o sea θ(h) tiende a cero “más rápido” quefunción lineal,
cuando h tiende a 0. Necesariamente la transformación
En cambio la función g(x,y) es continua, admite derivadas
lineal T es la única cosa que se ve más claramente si
según las...