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n fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica, fragmentada o irregular, se repite a diferentes escalas.1 El término fue propuesto por el matemáticoBenoît Mandelbrot en 1975 y deriva del Latín fractus, que significa quebrado o fracturado. Muchas estructuras naturales son de tipo fractal. La propiedad matemática clave de un objeto genuinamente fractal es que su dimensión métrica fractales un número no entero.
Si bien el término "fractal" es reciente, los objetos hoy denominados fractales eran bien conocidos en matemáticas desde principios del siglo XX. Las maneras más comunes de determinar lo que hoy denominamos dimensión fractal fueron establecidas a principios del siglo XX en el seno de la teoría de la medida.
Índice
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1 Introducción
1.1 Los ejemplos clásicos1.2 Los conjuntos de Julia
1.3 Familias de fractales: el conjunto de Mandelbrot
1.4 El método de Mandelbrot: diferentes fractales iterando potencias de Z
1.5 El método de Julia: diferentes fractales iterando potencias de Z
1.6 El método de Newton
1.7 Descomposición de funciones de variable compleja en su parte Real y su parte Imaginaria
2 Características de un fractal
2.1 Autosimilitud2.2 Dimensión fractal y dimensión de Hausdorff-Besicovitch
2.3 Definición por algoritmos recursivos
3 Aspectos matemáticos
3.1 Intentos de definición rigurosa
3.2 Dimensión fractal
3.3 Dimensión de Hausdorff-Besicovitch
3.4 Dimensión de fractales producidos por un IFS
4 Aplicaciones
4.1 Compresión de imágenes
4.2 Modelado de formas naturales
4.3 Sistemas dinámicos
4.4 En manifestacionesartísticas
5 Véase también
6 Referencias
7 Enlaces externos
Introducción[editar · editar fuente]
La definición de fractal en los años 1970, dio unidad a una serie de ejemplos, algunos de los cuales se remontaban a un siglo atrás. A un objeto geométrico fractal se le atribuyen las siguientes características:2
Es demasiado irregular para ser descrito en términos geométricos tradicionales.Es autosimilar, su forma es hecha de copias más pequeñas de la misma figura.
Las copias son similares al todo: misma forma pero diferente tamaño. Ejemplos de autosimilaridad:
Fractales naturales, son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximación mediante fractales matemáticos con autosimilaridad estadística. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de losfractales matemáticos porque los naturales son aproximados o estadísticos y su autosimilaridad se extiende sólo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atómica su estructura difiere de la estructura macroscópica).
Conjunto de Mandelbrot, es un fractal autosimilar, generado por el conjunto de puntos estables de órbita acotada bajo cierta transformación iterativa no lineal.
Paisajesfractales, este tipo de fractales generados computacionalmente pueden producir paisajes realistas convincentes.
Fractales de pinturas.-Se utilizan para realizar el proceso de decalcomania.
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión topológica.
Se define mediante un simple algoritmo recursivo.
No basta con una sola de estas características para definir unfractal. Por ejemplo, la recta real no se considera un fractal, pues a pesar de ser un objeto autosimilar carece del resto de características exigidas.
Un fractal natural es un elemento de la naturaleza que puede ser descrito mediante la geometría fractal. Las nubes, las montañas, el sistema circulatorio, las líneas costeras3 o los copos de nieve son fractales naturales. Esta representación esaproximada, pues las propiedades atribuidas a los objetos fractales ideales, como el detalle infinito, tienen límites en el mundo natural.
Los ejemplos clásicos[editar · editar fuente]
Para encontrar los primeros ejemplos de fractales debemos remontarnos a finales del siglo XIX: en 1872 apareció la función de Weierstrass, cuyo grafo hoy en día consideraríamos fractal, como ejemplo de función...