funcion exponencial compleja

FUNCIÓN EXPONENCIAL COMPLEJA
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simplesextensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante laserie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

Para valores imaginarios puros se cumple la identidad
,
En el que un caso particular es la identidad de Euler,conocida también como la fórmula más importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera,

relaciónque demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parte imaginaria de .
Para poder trabajar la función exponencial, tenemos que recordarla. En los realesnosotros la función vamos a trabajar usando su serie de Tylor.



Ahora evaluaremos:

Ahora debemos definirla como una función:
f =
z w = f(z) = Si, nosotros hacemos:
z = x + iy=

EJEMPLO:
1) Encontrar todas las z, tales que:
= 1 + 2i
Z = 1 + 2i , podemos decir que
cosy + iseny = 1 + 2i .
Para que dos complejos sean iguales,debemos decir que la parte real debe ser igual a la otra real, lo mismo con la imaginaria.
cosy = 1 (I)
seny = 2 (II)
Lo que vamos a hacer primero, es eliminar el coseno y seno de y, para ellodebemos elevar al cuadrado las dos ecuaciones.
= 1
= 4
+ = 5
+ = 5
= 5
X = ln (5)
Ahora para encontrar y, debe salirde esas dos ecuaciones. Dividimos las ecuaciones.
(II I) tany = 2 -> y = (2)
Por lo tanto:
Z = ln() + i (2)

2)  Hallar en C  las soluciones de la ecuación   z4 + 16 = 0.
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