funcion exponencial

Función exponencial
La función exponencial es del tipo:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición elconjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma
siendo  números reales, .Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Definición formal
La función exponencial ex puede ser definida de diversas maneras equivalentes entre sí, como una serie infinita. En particular puede ser definida como una serie de potencias:

o como el límite de la sucesión:

Propiedades
La función exponencial (y exponencialesen base distinta a e) satisfacen las siguientes propiedades generales.
Son las únicas funciones que son igual a su derivada (multiplicada por una constante, en el caso de que tengan una base distinta a e)




su límite en - ∞ es 0, y en + ∞ es + ∞
Derivada
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. Enparticular,

Es decir, ex es su propia derivada. Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas de expresar lo anterior:
La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
La función es solución dela ecuación diferencial y' = y.
Si la base de la exponencial no es el número e, sino otro número real arbitrario a mayor que 0, entonces la derivada de ésta es:

donde la función ln denota el logaritmo natural.
Definición para números complejos

Gráfico de la parte real de una función exponencial en el campo de los complejos

Como en el caso real, la función exponencial puede ser definidacomo una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirla para el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

paravalores imaginarios puros se cumple la identidad
,
en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se obtiene una definición equivalente a la primera,

relación que demuestra que esta función, además de ser holomorfa, es periódica, con un periodo para la parteimaginaria de 2πi.
Propiedades de la función exponencial
Dominio: .
Recorrido: .
Es continua.
Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a >1.
Decreciente si a < 1.
Las curvas y = ax e y = (1/a)x  son simétricas respecto del eje OY.

Se llaman así a todas aquellas funciones de la forma  f(x) = bx, en dondela base b, es una constante y el exponente la variable independiente. Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología, administración, economía, química, física e ingeniería.
La definición de función exponencial exige que la base sea siempre positiva y diferente de uno (b>0 y b≠1). La condición que b sea diferente de uno se impone, debido a que al reemplazar a b...