Funcion Exponencial

Función Exponencial
En todas las funciones que hemos estudiado la variable X aparece en la función como una potencia con exponente un número cualquiera del conjunto de los números reales. A partir de ahora vamos a estudiar una variable que estando en forma de potencia. La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde “e” es el número de Euler, aproximadamente2.71828...; esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)= ex o exp(x), donde “e” es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural. En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipoexponencial en base a si tiene la forma siendo a, “K ∈ R” números reales, con “a > 0”. Así pues, se obtiene un abanico de exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Vamos a construir la gráfica de las función: F(x)=2x
Para ello vamos a construir la tabla de valores, asignándole a la variable independiente algunos valores arbitrarios.DOMINIO Y RANGO
Esta función tiene como dominio todos los reales y como rangos reales mayores que creo, ¿Por qué?
Porque toda potencia de base positiva, no importa potencia de base positiva, no importa cuál sea el exponente, es siempre un número positivo.
Es decir:
f: R R+/ f(x)=2*

CARACTERISTICAS
Si asumimos que la base puede ser cualquier numero positivo mayor que la unidad, podemosgeneralizar de la siguiente manera:
f: R R+ / f(x) = a*, A a > 1
Esta función recibe el nombre de función exponencial de base entera positiva.
* El dominio de la función es el conjunto de los números reales
* El rango es el conjunto de los reales positivos
* La función es creciente.
* La función corta al eje vertical en el punto (0,1).

Si asumimos quela base puede ser cualquier fracción propia positiva, podemos generalizar de la siguiente manera:
f: R R+ / f(x) = a*, = < 1
Esta función también es exponencial sólo que la base es una fracción propia.
* El dominio de la función es el conjunto de los números reales.
* El rango es el conjunto de los reales positivos.
* La función es decreciente.
* Lafunción corta al eje vertical el punto (0,!).
DERIVADA DE LA FUNCION EXPONECIAL
La importancia de las funciones exponenciales en matemática y ciencias radica principalmente de las propiedades de su derivada. En particular.

Es decir, ex es su propia derivada . Es la única función con esa propiedad (sin tomar en cuenta la multiplicación de la función exponencial por una constante). Otras formas deexpresar lo anterior:
* La pendiente del gráfico en cualquier punto es la altura de la función en ese punto.
* La razón de aumento de la función en x es igual al valor de la función en x.
* La función es solución de la ecuación diferencial .
Si la base de la exponencial no es el número e, sino otro número real arbitrario a mayor que 0, entonces la derivada de ésta es:

Donde lafunción ln denota el logaritmo natural.
FUNCION EXPONENCIAL EN EL CAMPO DE NÚMEROS COMPLEJO
Como en el caso real, la función exponencial puede ser definida como una función holomorfa en el plano complejo de diferentes maneras. Algunas de ellas son simples extensiones de las fórmulas que se utilizan para definirla en el dominio de los números reales. Específicamente, la forma más usual de definirlapara el dominio de los números complejos es mediante la serie de potencias, donde el valor real x se sustituye por la variable compleja z:

Para valores imaginarios puros se cumple la identidad
,
en el que un caso particular es la identidad de Euler, conocida también como la fórmula más importante del mundo.
Usando la identidad anterior, donde ahora z=x+yi, con x e y números reales, se...