funcion gama

Páginas: 3 (660 palabras) Publicado: 11 de junio de 2014
Estadística Matemática
Control 1
José Luis Molina Borboa
112214
12 de septiembre de 2011
Todos los cálculos fueron hechos con diez decimales de precisión.
1. Considere la distribución angularcon función de densidad
f (x; α) =

1+αx
2 , |x|

≤1

con |α| ≤ 1.
a) Encuentre el estimador de momentos (EMM) del parámetro α.
Sean x1 , ..., xn v.a.i.i.d ∼ Angular(α)
ˆ1

ˆ1
1+αx
2⇒ E[X] =

dx =

x1 +...+xn
n

1
2

x2
2

3

+ αx
3

|1 =
−1

α
3

−1

1

Y tenemos que m1 =

x + αx2 dx =

1
2

(= E[X])

Entonces, igualando obtenemos
α=3
ˆ

1n

n

xi = 3x
i=1

b) ¿Cómo encontraría el correspondiente estimador de máxima verosimilitud (EMV)? Construya
la ecuación correspondiente.
La función de máxima verosimilitud está dada por:n

L(α, x) = f (x | α) =

f (xi | α)
i=1

Aplicando logaritmo a la función, obtenemos la función que tenemos que maximizar
n

ln(1 + axi ) − n ln(2)

(α, x) =
i=1

1

2. En ComunidadITAM encontrará asociada a su clave única la muestra observada de tamaño n =
20, proveniente de una población que es modelada mediante una distribución gamma, X ∼ Γ(α, λ),
con función de densidadλα xα−1 −λx
e
f (x; α, λ) =
IR+ (x)
Γ(α)
con α > 0 y λ > 0.
a) Encuentre los EMM, α y λ.
Con esta parametrización, sabemos que
E[X] =
ya que V ar(X) =

α
λ2

α
α(α + 1)
y E[X 2 ] =
λλ2

= E[X 2 ] − E[X]2 .

Sean x1 , ..., xn v.a.i.i.d como arriba. Los momentos se obtienen de la siguiente manera:
m1 =

x1 + ... + xn
=x
n

m2 =
Igualando

α
λ

= m1 y

α(α+1)
λ2x2 + ... + x2
n
1
n

= m2 , obtenemos los estimadores resolviendo para α y λ:
α=
ˆ

m2
1
m2 − m2
1

ˆ
λ=

m1
.
m2 − m2
1

Haciendo el cálculo con la muestra observada de tamaño20 [1], obtenemos que m1 = 0.659132053
y m2 = 0.571561255. Por lo tanto, las estimaciones de los parámetros por el método de momentos
son:
0.6591320532
α=
ˆ
= 3.168748677
0.571561255 −...
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