funcion gama
Control 1
José Luis Molina Borboa
112214
12 de septiembre de 2011
Todos los cálculos fueron hechos con diez decimales de precisión.
1. Considere la distribución angularcon función de densidad
f (x; α) =
1+αx
2 , |x|
≤1
con |α| ≤ 1.
a) Encuentre el estimador de momentos (EMM) del parámetro α.
Sean x1 , ..., xn v.a.i.i.d ∼ Angular(α)
ˆ1
ˆ1
1+αx
2⇒ E[X] =
dx =
x1 +...+xn
n
1
2
x2
2
3
+ αx
3
|1 =
−1
α
3
−1
1
Y tenemos que m1 =
x + αx2 dx =
1
2
(= E[X])
Entonces, igualando obtenemos
α=3
ˆ
1n
n
xi = 3x
i=1
b) ¿Cómo encontraría el correspondiente estimador de máxima verosimilitud (EMV)? Construya
la ecuación correspondiente.
La función de máxima verosimilitud está dada por:n
L(α, x) = f (x | α) =
f (xi | α)
i=1
Aplicando logaritmo a la función, obtenemos la función que tenemos que maximizar
n
ln(1 + axi ) − n ln(2)
(α, x) =
i=1
1
2. En ComunidadITAM encontrará asociada a su clave única la muestra observada de tamaño n =
20, proveniente de una población que es modelada mediante una distribución gamma, X ∼ Γ(α, λ),
con función de densidadλα xα−1 −λx
e
f (x; α, λ) =
IR+ (x)
Γ(α)
con α > 0 y λ > 0.
a) Encuentre los EMM, α y λ.
Con esta parametrización, sabemos que
E[X] =
ya que V ar(X) =
α
λ2
α
α(α + 1)
y E[X 2 ] =
λλ2
= E[X 2 ] − E[X]2 .
Sean x1 , ..., xn v.a.i.i.d como arriba. Los momentos se obtienen de la siguiente manera:
m1 =
x1 + ... + xn
=x
n
m2 =
Igualando
α
λ
= m1 y
α(α+1)
λ2x2 + ... + x2
n
1
n
= m2 , obtenemos los estimadores resolviendo para α y λ:
α=
ˆ
m2
1
m2 − m2
1
ˆ
λ=
m1
.
m2 − m2
1
Haciendo el cálculo con la muestra observada de tamaño20 [1], obtenemos que m1 = 0.659132053
y m2 = 0.571561255. Por lo tanto, las estimaciones de los parámetros por el método de momentos
son:
0.6591320532
α=
ˆ
= 3.168748677
0.571561255 −...
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