Funcion gumbel

Alternativas a la ley de Gumbel para la predicción de valores máximos de avenidas
Rafael Conejo Ramilo; Ricardo Conejo Muñoz conejo@lcc.uma.es Resumen: En este artículo se comparan la distribución de Gumbel con la familia de
n funciones χν , estudiando su aplicación para la predicción de caudales máximos de avenida. Se propone un test estadístico para la elección de la función de distribuciónmás adecuada a los datos medidos. Finalmente se analiza el caso de seis estaciones de aforos de la cuenca del Sur, comparando las predicciones según cada una de las funciones de distribución.

1. Introducción
Para predecir la riada máxima que puede producirse en el siglo o en el milenio, uno de los métodos es admitir que los caudales máximos anuales son una variable aleatoria cuya función dedistribución es conocida. Una de las primeras distribuciones que se han utilizado fue la de Gumbel; pero basta ojear cualquier libro de Hidrología para comprobar que se han propuesto muchas funciones de distribución y es fácil comprobar que los resultados de las predicciones son diferentes según la función de distribución que se escoja, por lo tanto parece que lo primero que debe estudiarse es quefunción de distribución se adapta mejor a la muestra que tenemos y es demasiado arriesgado creer que una determinada función puede servir para casos muy diferentes. La función de distribución de Gumbel se ha utilizado muchas veces dándole valores a sus dos parámetros para igualar los dos primeros momentos de la muestra y de la función de distribución, con la única comprobación de la representacióngráfica en papel probabilístico. La predicción de un mismo fenómeno como puede ser una riada se puede enfocar desde puntos de vista muy diferentes; para estudiar un encauzamiento interesará saber que caudal en metros cúbicos por segundo puede producirse en un siglo; pero si lo que se pretende es construir un puente sobre un cauce determinado solamente hace falta conocer la altura que alcanzara elagua en ese punto en un siglo. La relación entre la altura del agua y el caudal va a ser, en el caso mas sencillo, una función potencial de exponente de 2 á 3 por lo que es evidente que las variables aleatorias como son la altura máxima anual del agua y el caudal máximo anual en un punto de un cauce tendrán funciones de distribución completamente diferentes y para valorar las dos predicciones no sepodrá utilizar la misma función de distribución. Para las predicciones también puede ser necesario conocer el volumen máximo aportado por un río a un embalse en un siglo o milenio, el volumen aportado por un río dependerá de la riada del siglo o la milenaria pero también de la duración del periodo de lluvias, por lo tanto la aportación total será función de dos variables aleatorias que en generalcrecen al mismo tiempo puesto que una riada es más alta si dura más tiempo el periodo lluvioso, por lo que no es de extrañar que la altura de la riada, el caudal o la aportación del siglo no se puedan predecir con la misma función de distribución.

2 2. Función de distribución χ ν

Una familia de funciones de distribución recomendada para la predicción de valores extremos es la χν2 cuyafunción de densidad ( para valores pares ) viene dada por:

 ν−2 −x  x 2 e2 si x ≥ 0  ν  2 ν  f 2 ( x) =  2  − 1 ! χν   2   0 si x < 0 
cuya media es ν y cuya varianza es 2ν. De esta familia de funciones de densidad escogemos aquellas en que ν = ( 1, 2, 4, 6, 8 ). La más sencilla de 2 todas las de esta familia es la χ 2 ya que es la función exponencial cuya función de distribución es:-x   2 Fχ 2 = 1 - e 2  0 

para x ≥ 0 para x < 0

Esta función de distribución tiene propiedades muy importantes: • En papel semilogarítmico invertido su representación es una recta. Lo que se demuestra fácilmente mediante los respectivos incrementos:

∆x = ∆ ln (1 − F (x ))

 -(x + t) ln e 2

( x + t) − x t = = cte. -x  −t 2    − ln e 2         

• Si la...