Funcion impulso unitario para sistemas continuos

3.5 Respuesta al impulso
La función de transferencia presentada en la sección 3.2 permite caracterizar un sistema dinámico lineal invariante en el tiempo, en situación de reposo, mediante una expresión en el dominio de la frecuencia compleja o . La respuesta al impulso logra esa misma caracterización, pero en el dominio del tiempo o , mediante el estudio del comportamiento del sistema cuando seestimula con una señal especial: el impulso unitario3.3.

3.5.1 Caso discreto

3.5.1.1 La función impulso unitario discreto
Dado un sistema como el de la figura 3.2 la respuesta al impulso es la respuesta del sistema cuando la entrada es el impulso unitario , con condiciones iniciales nulas. La respuesta al impulso suele denotarse por , y su transformada por
La función (ver figura 3.11)se define como:

Una de las características importantes de la función es que su transformada es , tal como se muestra a continuación:

Supóngase un sistema discreto con condiciones iniciales nulas, con función de transferencia , que se excita con el impulso unitario (figura 3.12). La respuesta del sistema, en el dominio de la frecuencia será el producto de la entrada por la función detransferencia:

Este hecho pone de manifiesto la relación que existe entre la respuesta al impulso y la función de transferencia (ver figura 3.13): la función de transferencia es la transformada de la respuesta al impulso

3.5.1.2 La respuesta a un impulso genérico
Supóngase un sistema discreto lineal, que es excitado con la función impulso , y cuya salida es la respuesta al impulso , tal como el dela figura 3.14(a). Si ese mismo sistema se excita con la función impulso, pero retrasada en , la salida debe ser la misma respuesta al impulso retrasada en , como se muestra en la figura 3.14(b) ya que se supone que el sistema es invariante en el tiempo.

Por otra parte, debido a que el sistema es lineal, al multiplicar la entrada por un escalar la salida se multiplicará por el mismo escalar ;por lo tanto, si el sistema recibe como entrada la señal impulso , la salida será (ver figura 3.14(c)).

3.5.1.3 Convolución
Una señal discreta cualquiera es un conjunto de valores en el tiempo, que puede representarse como la suma de infinitos impulsos individuales, tal como se muestra en la figura 3.15.
Además, cada uno de los pulsos individuales puede representarse como un impulso aplicado enel instante de tiempo , cuya amplitud es justamente Dicho de otra forma, cualquier señal puede escribirse como:

Debido a que el sistema es lineal, podemos aplicar el principio de superposición, y obtener la respuesta del sistema cuando la entrada es como la suma debida a cada uno de los impulsos (suponiendo condiciones iniciales nulas). Estas respuestas son de la forma que se muestra en lafigura 3.14(c), y por tanto la respuesta será de la forma:

Esta última sumatoria corresponde a la convolución discretade las señales y , representada por el operador
El resultado anterior no debe sorprender, ya que al aplicar transformada a cada lado de la igualdad se tiene:

y la transformada de la respuesta al impulso resulta ser la función de transferencia del sistema, tal como se habíamostrado ya en la figura 3.13

3.5.2 Caso continuo

3.5.2.1 La función impulso unitario continuo
Para obtener con sistemas continuos un resultado similar el mostrado para sistemas discretos en la sección 3.5.1 es necesario contar con una función continua cuyas propiedades sean análogas a las de la función impulso discreto; es decir, se necesita una función cuya transformada de Laplace sea. Dichafunción es la función impulso o delta de Dirac, generalmente representado por .
Para presentar la función , primero consideramos la función, cuya gráfica se muestra en la figura 3.16:

Nótese que el área bajo la gráfica de la función es , independientemente del valor de , es decir,

Se define la función delta de Dirac como la función que resulta al disminuir progresivamente, hasta llevarlo...