Funcion Inversa

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Función Inversa
Una función es una relación entre dos variables, de manera que para cada valor de la variable
independiente existe a lo más un único valor asignado a la variable independiente por la función.
Imagina que tienes la función y = f ( x ). Tú le das un valor (x) y ella te devuelve otro ( f ( x )).
Una buena idea sería encontrar una función que cuando ledemos el valor f ( x ) nos devolviera x,
es decir, una máquina que haga la transformación inversa de f ( x ).
En otras palabras, queremos encontrar una función que deshace la transformación que ocasiona
la función f sobre los números que le damos.
Función inversa
Sea f una función con dominio X f y contradominio Y f . Si existe una función g con dominio Xg y
contradominio Yg tal que:
i. f ( g( x ))= x para toda x ∈ Xg

Definición
1

ii. g( f ( x )) = x para toda x ∈ X f
entonces decimos que las funciones f y g son inversas una de la otra.
f −1 denota la función inversa de f .
En otras palabras, si intercambiamos las coordenadas de los pares formados por ( x, f ( x )) obtenemos ( f ( x ), x ), que no son sino los puntos de la función inversa f −1 . Es decir, el dominio de f es
elcontradominio de f −1 y el contradominio de f es el dominio de f −1 .
Importante1 : f −1 ( x ) no significa

1
.
f (x)
f −1 ( x ) =

Utilizando el diagrama de función, podemos explicar el nuevo concepto:

1
f (x)

Pero

Función

( f ( x ))−1 =

Dominio

Contradominio

X

f

Y
y

x
f −1
Valores que le
damos a la función

Inversa

Valores que nos
devuelve la función

No todas las funciones tienen funcióninversa. Esto se debe a la definición de función.
Para que una relación sea considerada función, para cada elemento del dominio le debe corresponder a lo más un elemento del contradominio.
Si una función debe tener función inversa, a cada elemento del contradominio le debe corresponder a lo más un elemento del dominio (por definición de función inversa).
En otras palabras, para cada elemento deldominio de f le corresponde un elemento de su contradominio y viceversa.
1 La

notación de función inversa sugiere alguna relación con los exponentes, pero no es así.

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1
f (x)

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Esto implica que para dos valores a, b distintos, entonces f ( a) = f (b). En otras palabras solamente
para las funciones «uno a uno» podemos calcular su funcióninversa.
Ya se había mencionado en la sección anterior que si la función f es uno a uno (inyectiva), entonces
cumple con:
Si a = b, entonces f ( a) = f (b)
y además, si g es la inversa de f , entonces, g( f ( a)) = a y g( f (b)) = b, por lo que si f ( a) = f (b),
se sigue que a = b.
Lo anterior nos indica que:
Teorema 1

Si la funcion f tiene inversa, entonces, para cualesquiera dos elementos a, ben el dominio de f
que cumplen a = b, se tiene que f ( a) = f (b).
En otras palabras, si una función tiene inversa, entonces es uno a uno y viceversa, si una función
es uno a uno, entonces tiene inversa. Si y0 está en el contradominio de la función f , entonces este
valor tiene asociado un único valor x0 a partir del cual se le calculó usando f . Es decir, y0 = f ( x0 ).
Si definimos la función gque toma como su dominio al contradominio de f y asignamos al
contradominio de g los elementos del dominio de f , estamos diciendo que g es la función inversa
de f .
Tanto f como g son funciones (una inversa de la otra) porque cumplen con la condición de que
«a cada elemento del dominio le corresponde a lo más un elemento del contradominio», impuesto por la
definición de función.
Calcula lafunción inversa de la función:

Ejemplo 1

y = 2x+7

• Por definición de función inversa, para cada x le corresponde un y y viceversa.
• La función «directa» es: y = 2 x + 1.
• La función inversa «deshace» la transformación, es decir, le damos y y ésta nos devuelve x.
• En otras palabras, la variable dependiente de la función «directa» viene siendo la variable
independiente de la función inversa.
• Y...