Funcion Inyectiva

Función inyectiva


Ejemplo de función inyectiva.
En matemáticas, una función es inyectiva si a cada valor del conjunto (dominio) le corresponde un valor distinto en el conjunto (imagen) de . Esdecir, a cada elemento del conjunto X le corresponde un solo valor de Y tal que, en el conjunto X no puede haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función denúmeros reales , dada por no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y f( − 2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una nueva función entonces sí seobtiene una función inyectiva.
Definición formal
De manera más precisa, una función es inyectiva cuando se cumple alguna de las dos afirmaciones equivalentes:
* Si x1,x2 son elementos de talesque f(x1) = f(x2), necesariamente se cumple x1 = x2.
* Si x1,x2 son elementos diferentes de , necesariamente se cumple
Los siguientes diagramas corresponden a función inyectiva:
| |Cardinalidad e inyectividad
Dados dos conjuntos y , entre los cuales existe una función inyectiva tienen cardinales que cumplen:

Si además existe otra aplicación inyectiva , entonces puede probarse queexiste una aplicación biyectiva entre A y B.
Ejemplos
* Para cualquier conjunto X y subconjunto S de X el mapa de la inclusión S → X (el cual envía cualquier elemento s de S para si mismo) esinyectiva. En particular, la función identidad X → X es siempre inyectiva (y de hecho biyectiva).
* La función f : R → R definida por f(x) = 2x + 1 es inyectiva.
* La función g : R → R definidapor g(x) = x2 no es inyectiva, porque (por ejemplo) g(1) = 1 = g(−1). No obstante, si g se redefine de manera que su dominio es los números reales no negativos [0,+∞), entonces g es inyectiva.
* Lafunción exponencial exp : R → R definida por exp(x) = ex es inyectiva (pero no sobreyectiva, porque no genera números negativos, los cuales no tienen relación con ningún valor de x).
* El...