funcion lineal


Función lineal.

En geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta.
Esta función se puede escribir como:



donde m y b son constantes reales y x es una variable real. La constante m es la pendiente de la recta, y b es el punto de corte de la recta con eleje y.
Si se modifica m entonces se modifica la inclinación de la recta, y si se modifica b, entonces la línea se desplazará hacia arriba o hacia abajo.

Algunos autores llaman función lineal a aquella con b= 0 de la forma:



Mientras que llaman función afín a la que tiene la forma:



Cuando b es distinto de cero, dado que la primera (b=0) es un ejemplo también de transformaciónlineal, en el contexto de álgebra lineal.





Ejemplo:

Dos rectas y sus ecuaciones en coordenadas cartesianas.
Una función lineal de una única variable dependiente x es de la forma:

que se conoce como ecuación de la recta en el plano x,y. En la figura se ven dos rectas, que corresponden a las ecuaciones lineales siguientes:

en esta recta el parámetro m es igual a 1/2 (correspondienteal valor de la pendiente de la recta), es decir, cuando aumentamos x en una unidad entonces y aumenta en 1/2 unidad, el valor de b es 2, luego la recta corta el eje y en el punto y= 2.
En la ecuación:

la pendiente de la recta es el parámetro m= -1, es decir, cuando el valor de x aumenta en una unidad, el valor de y disminuye en una unidad; el corte con el eje y es en y= 5, dado que el valorde b= 5.
En una recta el valor de m se corresponde al ángulo de inclinación de la recta con el eje de las x a través de la expresión:




Funciones lineales de varias variables
Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie planade dimensión n y pasa por el origen de coordenadas en un espacio (n+1)-dimensional.
PUNTOS DE CORTE DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES COORDENADOS
Los primeros puntos de la gráfica que se pueden hallar, son los puntos de la función que pertenecen a los ejes coordenados.
Para hallar el punto donde la función corta al eje de ordenadas (eje Y) se resuelve el sistema:

Para hallar los puntos donde lafunción corta al eje de abscisas (eje X) se resuelve el sistema:

Ejemplo:


Punto de corte con el eje OY :
Puntos de corte con el eje OX :


Por tanto los puntos de corte con los ejes de coordenadas son:
TABLA DE VALORES
X
Y
0
2
1
0
2
0
-1/2
0

Monotonía (crecimiento y decrecimiento)

 Una función real es creciente en un intervalo si para dos valorescualesquiera del intervalo y , con , se tiene que:
 Una función real es decreciente en un intervalo si para dos valores cualesquiera del intervalo y , con , se tiene que:
 Una función real es constante en un intervalo si para cualquier valor del intervalo , se tiene que: (constante)

Teorema
Si es creciente en

 Si es decreciente en
Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento
1)Calculamos
2) Resolvemos la ecuación
 3) Dibujamos en la recta real las soluciones de la ecuación anterior y los posibles puntos de discontinuidad de la función. Ello dejará la recta real dividida en intervalos.
 4) Estudiamos el signo de en cada uno de los intervalos anteriores. Para ello tomamos un punto del intervalo y comprobamos si es positivo o negativo.
Si es positivo, la función escreciente en ese intervalo
Si es negativo, la función es decreciente en ese intervalo
Paridad de una función
En matemáticas, se puede clasificar a las funciones según su paridad. Las funciones pueden ser pares, impares o no tener paridad. Aquellas funciones que poseen paridad satisfacen una serie de relaciones particulares de simetría, con respecto a inversas aditivas. Las funciones pares e...