funcion lineal

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Matemática

FUNCIONES LINEALES
Una función de la forma:
f: ℜ→ℜ / f(x) = ax + b
donde a y b son números reales, es una función lineal.
Son ejemplos de funciones lineales:
f : ℜ → ℜ / f(x) = 4x
g : ℜ → ℜ / g( x ) = -

1
x +1
3

h : ℜ → ℜ / h( x ) = 3
•

La gráfica de una función lineal es una recta de ecuación y = ax + b.
Para las funciones f, g y h las respectivas gráficas son:Para representar una función lineal es suficiente conocer dos puntos que pertenezcan a
su gráfica.
Ejemplo 1:
Para representar la función
f:ℜ  ℜ /f(x) = - 2x+3
elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen.
•

x = 0 es f(0) = -2.0 + 3 = 3
3
3
3
es f   = − 2. + 3 = 0
x =
2
2
2

•

Como es
•

•

f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la
función.
3
3 
f   = 0 , elpunto  ; 0  pertenece al gráfico de la
2
2 
función.

Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3
que es la gráfica de la función f.

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Ejemplo 2:
En forma análoga, Para representar la función
f:ℜ  ℜ /f(x) = 2x+3
elegimos dos elementos del dominio y buscamos su imagen.
•

x = 0 es f(0) = 2.0 + 3 =3
3
 3
 3 
es f  −  = 2. −  + 3 = 0
x =−
2
 2
 2 

•

Como es
•

•

f(0) = 3, el punto (0; 3) pertenece al gráfico de la
función.
 3
 3 
f  −  = 0 , el punto  − ; 0  pertenece al gráfico
 2
 2 
de la función.

Los dos puntos determinan la recta de ecuación y = - 2x + 3
que es la gráfica de la función f.

Si observamos las dos gráficas dibujadas
vemos que:
•

Las dos cortanal eje y en el punto de
coordenadas (0; 3). A este punto se lo
llama ordenada al origen.

•

Las dos cortan al eje x.
Ambas funciones presentan un cero.

Se llama ordenada al origen al
valor que toma la función
cuando x = 0  f(0) = b

•

f(x) = 0 significa que ax + b = 0
b
de donde x = − .
a

•

x=−

3
2

•

La primera x =

•

La segunda en x = −

3
2

b
es el cero de la función
a

lineal.

•

Laprimera
decreciente.

función

es

siempre

•

La segunda
creciente.

función

es

siempre

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•

Las funciones lineales de la forma
f(x) = ax + b (a≠0) son siempre
crecientes o decrecientes.

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Otras
expresiones de
la función lineal

Las funciones que analizamos son de la forma f(x) = ax + b (a≠0). Veremos ahora
otrasexpresiones de la función lineal.
Funciones lineales de la forma f(x) = b
•

Surge de hacer a = 0 en la expresión f(x) = ax + b
Por ejemplo: f(x) = 4
La gráfica de esta función es una recta
paralela al eje de abscisas.
Todos los puntos de la recta tienen la forma
(x; 3).
Estas
rectas
constantes.

representan

funciones

Funciones lineales de la forma f(x) = ax; (a≠0).
Sus gráficas son rectas quepasan por el origen de coordenadas.
El punto (0; 0) pertenece a cualquiera de ellas.

Si en f(x) = ax; hacemos a = 2, resulta
f(x) = 2x

Si en f(x) = ax; hacemos a = 1, resulta
f(x) = x
Esta función recibe el nombre de función
identidad.

Si en f(x) = ax; hacemos a = - 2, resulta
f(x) = -2 x

Observamos que al variar el valor de la constante a varía la inclinación de las rectas.
Denominamospendiente a la constante a.
•

Si a > 0 la función es creciente.

•

Si a < 0 la función es decreciente.

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La pendiente a nos indica el aumento que experimenta y cuando x aumenta una
unidad.
Consideremos nuevamente la función f(x) = 2x.
Los puntos (1; 2) y (2; 4) pertenecen a la gráfica de f
Cuando x aumenta 1 unidad; yaumenta 2 unidades.

Lo mismo ocurre en las funciones de la forma
f(x) = ax + b (b≠0)
Consideremos la función f(x) = 3x + 1 y su
gráfica.
Los puntos (0; 1) y (1; 4) pertenecen a la
gráfica.
Cuando x aumenta una unidad, y aumenta
tres unidades.

Esta es una propiedad de las funciones lineales.
La pendiente a nos indica la variación que experimenta y cuando x varía en una
unidad.
Esta variación es...