Funcion secante y cosecante

Funciones pares

Gráfica de una función par.
Una función par es cualquier función que satisface la relación y si x es del dominio de f entonces -x también.
Desde un punto de vista geométrico, una función par es simétrica con respecto al eje y, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.
Ejemplos de funciones pares son el valor absoluto, x2, x4,cos(x), y cosh(x).
Definición formal
El término función par suele referirse a una clase especial de funciones de variable real: una función es una función par si para se cumple la siguiente relación:

La definición anterior puede generalizarse a funciones sobre dominios más generales. Si A es un conjunto con cierta estructura algebraica en la que existan inversos aditivos (por ejemplo, losnúmeros complejos C), una función par sería toda función:

que cumpla:

La definición de función par presupone que si entonces necesariamente , de no ser así no se podría definir .
Ejemplo
La función:

es par ya que para cualquier valor de x se cumple:






Demostrando que la función es par.
Si x=2, entonces:

Funciones impares

Gráfica de una función impar
Una función impar escualquier función que satisface la relación:

para todo x en el dominio de f.
Desde un punto de vista geométrico, una función impar posee una simetría rotacional con respecto al origen de coordenadas, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.
Ejemplos de funciones impares son x, x3, seno(x), sinh(x), y la erf (x).
Ejemplo
Lafunción:

es impar, ya que:

en este caso la función no está definida en el punto .
Si vemos la función:

Podemos ver que:






Y esta función si pasa por el punto (0,0).










ALGEBRA DE FUNCIONES Y COMBINACION DE FUNCIONES
 

 
Algebra de funciones
 
Si dos funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces es posible hacer operaciones numéricasreales como la suma, resta, multiplicación y división (cociente) con f(x) y g(x).
 
Definición: La suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g son las funciones definidas por:
 

 
Cada función está en la intersección de los dominios de f y g, excepto que los valores de x donde g(x) = 0 se deben excluir del dominio de la función cociente.
 
Ejemplos paradiscusión:
 
1) Sea f(x) = x2 y g(x) = x - 1. Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones f y g. Señala el dominio para cada una de ellas.
 
2) Sea:

 
Halla la suma, resta, multiplicación y cociente de las funciones. Indica cuál es el dominio para cada una de ellas.
 
Ejercicio de práctica: Sea f(x) = 3x y g(x) = x + 2. Halla la suma, resta, multiplicación ycociente de las funciones. ¿Cuál es el dominio en cada una de ellas?
 
 
Composición de funciones
 
Definición: Dadas las funciones f y g, la composición de f y g, se define por:
 

 
donde g(x) es el dominio de f. La composición de g y f se define por:
 

 
Ejemplos para discusión: Halla f(g(x)) y g(f(x)) para cada par de funciones y su dominio.
 

 
Notas:
 
1) Eldominio f(g(x)) es subconjunto del dominio de g y el recorrido de f(g(x)) es subconjunto de recorrido de f.
 
2) Si las funciones f y g están definidas para todos los números reales, entonces también su composición f(g(x) está definida.
 
Ejercicio de práctica: Halla: f(g(x)), g(f(x)) y el dominio de cada composición si:
 


Álgebra de funciones
 
El desarrollo de lasfunciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:

 Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:
 
Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
 
Diferencia: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
 
Producto: (fg)(x) = f(x)g(x)
 
Cociente:...