funcion trigonometrica

estas identidades son a veces usadas como las definiciones de las funciones seno y coseno. Con frecuencia se utilizan como el punto de partida para el tratamiento riguroso de las funcionestrigonométricas y sus aplicaciones (por ejemplo en las Series de Fourier), debido a que la teoría de las series infinitas puede ser desarrollada a partir de la base del sistema de números reales,independientemente de cualquier consideración geométrica. La diferenciabilidad y continuidad de estas funciones es entonces establecida a partir de las definiciones de series por sí misma.
Relación con laexponencial compleja
Existe una relación importante entre la exponenciación de números complejos y las funciones trigonométricas:

Esta relación puede probarse usando el desarrollo en serie de Taylor parala función exponencial y el obtenido en la sección anterior para las funciones seno y coseno. Separando ahora en parte real e imaginaria en la expresión anterior se encuentran las definiciones de senoy coseno en términos de exponenciales complejas:

A partir de ecuaciones diferenciales
Las funciones seno y coseno satisfacen la igualdad:

Es decir, la segunda derivada de cada función es lapropia función con signo inverso. Dentro del espacio funcional de dos dimensionesV, que consiste en todas las soluciones de esta ecuación,
-la función seno es la única solución que satisface lacondición inicial  y
-la función coseno es la única solución que satisface la condición inicial .
Dado que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, juntas pueden formar la base de V. Estemétodo para definir las funciones seno y coseno es esencialmente equivalente a utilizar la fórmula de Euler. Además esta ecuación diferencial puede utilizarse no solo para definir al seno y al coseno,con ella también se pueden probar las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno.
Además, la observación de que el seno y el coseno satisfacen y′′ = −y implica que son funciones...