Funcion y derivada

Función:
Dado dos conjuntos no vacíos, A y B una regla de asociación que asigna a cada elemento de un conjunto A, uno y solamente del otro conjunto B es una FUNCIÓN.
Ejemplos:
1) La regla que asigna a todo número su cubo.
2) La regla que asigna a todo número x, el número
x2 - 6x + 3 ; x ≠ -3
x + 3
3) La regla que asigna a todo número a el número
3a3 + 12a2 –8a + 15
4) La regla que asigna a cada número y que satisface -6 ≤ y ≤ 5 el número 2y2
5) La regla que asigna
a 1 el número π
a 20 el número πe
a π2 el número 30.
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Los conjuntos A y B necesarios para definir a la función, podemos llamarlos: al conjunto A el dominio dela función y al conjunto B el dominio de imágenes codominio o contradominio.

Como la función es laregla de asociación que hace corresponder a un elemento del dominio uno y solamente un elemento del rango, entonces por el diagrama sagital siguiente, tenemos:
Donde:
f es la función
A es el dominio de f
B es el rango de f (dominio de imágenes)
x elemento de dominio y se escribe x∈ A
f(x) es la imagen de x bajo la función f

o también: “valor f en x” ó simplemente: “f de x”

Unafunción f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A, exactamente un elemento f(x) de un conjunto B.

Se le llama Dominio de la función al conjunto de los números donde se aplica o define una función. El condominio de la función es el conjuntos de todos los valores posibles de f(x) conforme x varia en el dominio A.

(Algunos autores expresan al condominio o contradominio comosinónimo de RANGO. Sin embargo, otros señalan que el rango o el conjunto de imágenes de una función es el conjunto formado con todos los elementos asociados.)

Ejemplo:

Si f es la función que se muestra en el diagrama, definir el dominio condominio y rango de f.

Solución:
Df = A = { a, b, c, d }
Cf = B = { m, n, s, t }
Rf = { m, n }

Ejemplo:

Los siguientes ejemplos de funcionestienen la intención de ilustrar, mejorar y ampliar la definición empleando la notación definida al respecto
1) La regla de asociación que asigna a todo número x su cuadrado también puede escribirse: f(x) = x2
2) La regla que asigna a todo número x + 1, -1 el número
X2 + 3x + 5
X2 – 1
3) La regla que asigna 2 al número 5.
4) El volumen de un cubo está en función de lalongitud de sus aristas. Es decir: V(a)= a3 ; a es la arista
5) La función que muestra el diagrama sagital siguiente:
6) La regla de correspondencia que asigna a todo número c, el mismo número.
También f(c) = c
llamada Función Identidad.
7) La regla que asigna a cada número p entero positivo, el número p! se escribe también: h(p) = p! y se llama factorial de un número.
Ejemplo: Dada lafunción h(p)= p! hallar: h(1) ; h(2) ; h(3)
Solución: h(1) = 1! = 1
h(2) = 2! = 1 x 2 = 2
h(3)= 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Formalización:
Un par (a,b) es ordenado si (a,b) ≠ (b,a). Entonces al elemento a lo llamamos primera componente y al elemento b segunda componente del par(a,b)

Consideremos los conjuntos A= { 1, 2, 3, } y B = { m, n } y determinamos todos los pares ordenados, tales que , la primera componente sea un elemento de A y la segunda componente sea un elemento B. El conjunto formado por todo esos pares ordenados forman el producto cartesiano de A y B :
A x B= { (1, m), (1, n), (2, m), (2, n), (3, m), (3,n) }

En general:Se llama producto cartesiano de un conjunto A por otro conjunto B, al conjunto de todos los pares ordenados cuyo primer elemento pertenece a A y cuyo segundo elemento pertenece a B.

Ejemplo:
1) Datos M= { a, b, c, d } ; N = { 2, 3} ; P= { x }
Determine N x N= { (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3) }

Una función o aplicación de conjunto A en conjunto de B, es una colección de pares de...