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ACERCAMIENTO A LA FUNCION ZETA DE RIEMANN

WILSON TORRES OVEJERO

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
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FACULTAD DE EDUCACION
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LICENCIATURA EN MATEMATICAS
2010

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ACERCAMIENTO A LA FUNCION ZETA DE RIEMANN

WILSON TORRES OVEJERO
CODIGO: 171206219

Asesor:
NESTOR ORLANDO FORERO DIAZ
Magister en Matem´ticas
a

UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
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FACULTAD DE EDUCACION
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LICENCIATURAEN MATEMATICAS
2010

Este trabajo est´ dedicado a mis padres Jos ´ Obdulio Torres Rodriguez y Erminta Ovejero
a
e
Albarrac´n, pues sin su apoyo incondicional este no hubiese sido posible
ı

El camino m´s corto entre dos verdades del an´lisis real pasa por el an´lisis complejo.
a
a
a
JACQUES HADAMARD

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Indice general
1. PRELIMINARES
1.1. Funciones de una variable compleja . . .. . . . . .
1.2. Funciones anal´
ıticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Residuos y polos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Productos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Productos can´nicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
1.6. Representaci´n en producto de la funci´n sin(πz )
o
o
1.7. La funci´n Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
o

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2. ACERCAMIENTO A LA FUNCION ZETA DE RIEMANN
2.1. Definici´n de la funci´n Zeta de Riemann . . . . . . .. .
o
o
2.2. Convergencia uniforme de la funci´n Zeta de Riemann .
o
2.3. El desarrollo en producto de la funci´n Zeta . . . . . . . .
o
2.4. Extensi´n de ζ (s) al plano entero . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.5. Algunos valores de la funci´n zeta de Riemann . . . . . .
o
2.6. La ecuaci´n funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.7. Relaci´n entre la funci´n ζ (s) yla funci´n [x] . . . . . . .
o
o
o
2.8. Representaci´n en serie de Laurent . . . . . . . . . . . . .
o
2.9. Producto de Hadamard para la funci´n zeta de Riemann
o
Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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INTRODUCCION
La funci´n Zeta de Riemann es una generalizaci´n de la p-serie a los n´ meros complejos.Esta
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adem´s de tener curiosas aplicaciones en la teor´ de n´ meros, es el objeto de estudio de muchos
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u
matem´ticos en todo el mundo, debido a su relaci´n con la hip´tesis de Riemann, que afirma:La
a
o
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parte real de todo cero no trivial de la funci´n zeta de Riemann es 1/2. Conjetura que realiz´ por
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primera vez en su art´
ıculo, la cantidad de n´ meros primos queuna magnitud dada,en 1859.
u
En este trabajo se encontrar´ un analisis detallado de las propiedades m´s importantes que esta
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posee, tales como su relaci´n con los n´ meros primos, su ecuaci´n funcional, la serie de Laurent
o
u
o
y su relaci´n con las constantes de Stieljes y al final del mismo, se encontrar´ adem´s un breve
o
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a
estudio sobre los ceros no triviales, eje centralde un de los sies problemas de milenio. Adem´s la
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representaci´n en producto infinito dado por Hadamard sobre dichos ceros.
o
Este trabajo fu´ realizado con el fin de profundizar un poco en la historia de las matem´ticas,
e
a
pues muchas veces dejamos de lado nuestra cultura general de la rama por dedicarnos a c´lculos y
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aplicaciones, adem´s, de estudiar el porqu´ de esta hip´tesis...