Funcion

1. FUNCIÓN
1.1. Definición:
Una regla que asigna a cada elemento de un conjunto A un único elemento de otro conjunto B, se denomina Función. Gráficamente.

f
A
x y z b a

g
B A
x y z b a

B

Fig. a
Es decir:

Fig. b

f:A

B Se lee f es una función de A en B.

No es función si a un elemento del conjunto A (z) le hace corresponder dos o más elementos del conjunto B ( a y b).Figura b Notación Funcional. La variable característica llamada función se denota por una letra. f, g , h, , ó F, G , H ,

f(x) : se lee f evaluado en x .
Ejemplos: 1. f(x) 2. f(x)

x 3
x2 1

3. f(r) 4. f(x)

r2 x2 2x

1.2. Dominio y Rango
Sea la función f : A B . Todos los elementos de A que participan o que se les permite participar forman el dominio de dicha función, y todos loselementos que partipan en B forman el rango o imagen de la función. Es decir: Dominio:
Df {x {y A/ y B , y A, y f(x)} f(x)}

Rango:
Rf B/ x

Página 1

Gráfica

A
Df

f

B
Rf

1 2 3 4 4

2 4 6 5

Si A B R entonces f : R R , se llamara función real de variable real, puesto que los valores de las características o variables son números reales y su imagen o rango viene a hacertambién el conjunto de los números reales. Ejemplo: Halle el dominio y rango de: f(x)
2 x 1

Solución: a) Dominio f(x) existe para todo x

1 . Por lo tanto,

Df
b) Rango Despejando x se tiene:
2 yx y

{x

R/x

1}

x

2 y

y

, y

0

Luego el rango es:
Rf {y R/y 0}

Observación La gráfica de una ecuación representa a una función si toda recta vertical trazada sobre lagrafica corta a esta en un solo punto
No es función Es función

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1.3. Valor numérico de una función
El valor numérico de una función es el valor que se obtiene al reemplazar la variable independiente por un valor asignado. Es decir, sea f una función dada, entonces si x se le asigna el valor de a, el valor numérico de la función f es f(a). Nota: No confundir f con f(x): f es lafunción y f(x) es el valor de la función evaluado en x. Ejemplo Sea f la función definida por f(x) = 2x+1, entonces calcule el valor numérico de la función f cuando x Solución Sólo se debe de reemplazar el valor de x en la función dada. Es decir: f(2) = 2(2) + 1 = 4+1 = 4. Por lo tanto, el valor numérico de la función es: f(2) = 4.

2.

Ejercicios Resueltos
1. Sean los conjuntos A={2; 4; 6; 8; 10} yB={a; b; c; d; e}. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos definen funciones de A en B? f = {(2;a), (4;c), (10;c), (8;e), (6;e)} g = {(10; a), (6;b), (2;a), (6;e), (4;d)} Solución Por definición de función se tiene que g no es función por que para el elemento 6 le hace corresponder dos imágenes. Es decir: g(6) = b y g(6) =e.
f(0) f( 2) en cada caso: f(4)

2. Determine el valor numérico de N a)f(x) b) f(x) c) f(t) d) f(x) e) f(x)

5x 10 mx b
t2 x3 t 2x 5 4

19573

Solución Reemplace el valor de la variable x en la función y se tiene: a) f(0) = 5(0) – 10 = –10. f(–2) = 5(–2) – 10 = –20. f(4) = 5(4) – 10 = 10. Por lo tanto,
N f(0) f( 2) f(4) 10 ( 20) 10 10 20 10 3

Página 3

b)

f(0) = m(0) +b = b. f(–2) = m(–2)+b = –2m+b. f(4) = m(4) +b = 4m+b. Por lo tanto,
N f(0) f( 2)f(4) b ( 2m b) 4m b b 2m b 4m b 2b 2m 4m b

c)

f(0) = (0)2 +(0)–5 = –5. f(–2) = (–2)2 + (–2) – 5 = –3. f(4) = (4)2 + 4 – 5 = 15. Por lo tanto,
N f(0) f( 2) f(4) 5 ( 3) 15 5 3 15 8 15

d)

f(0) = 19 573. f(–2) = 19 573. f(4) = 19 573. Por lo tanto,

N
e) f(0) = (0)3 –2(0) + 4= –4 f(–2) = (–2)3 –2(–2) + 4= 0. f(4) = (4)3 –2(4) + 4= 60 Por lo tanto,

f(0)

f( 2) f(4)

19573 1957319573

2(19573) 19573

2

N

f(0)

f( 2) f(4)

4 0 60

1 15

3. Halle el dominio y rango de : y Solución: a) Dominio

f(x)

2

3x

x2

Df

{x

R/ y

R ,y

f(x)}

y

2

3x

x2 existe

2

3x

x2

0

(x

1)(x

2)

0

+
1 Por lo tanto,
Df

–
2

+

1,2

b)

Rango
Rf {y R / x R, y f(x)}

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y

2 3x

x2 ,

y

0...