Funcion

Pub . Mat . UAB
N° 22 Nov . 1980
Actes VII JMHL

SOBRE FUNCIONES CONVEXAS, CASI-CONVEXAS Y PSEUDO-CONVEXAS
J .P . Vilaplana, 0 . Herrero
Dpto . de Matemática Aplicada
Universidad del PaisVasco

S U M M A R Y

In this paper, the basic properties of the convex functions
are discussed, such as continuity, directional differentiability, and supportability properties . Alzo the relationswith the quasi-convex, and pseudo-convex functiona are given.
Both weaker and stronger forma of convexity are alzo given.
1

Sea la función numérica f : C
el conjunto convexo C .
DEFINICION 1.f es convexa en C si
`r' x, y ~- C,

í1 E (o, 1)

f es cóncava si - f

El U loo

f [?.x+(1- ñ )Y]

á

definida sobre

~f(x)+(1- ;N)f(Y)

es convexa .

Las funciones convexas ycóncavas pueden definirse también via el epigrafo y el hipografo de la función f dada .
DEFINICION 2 .El epigrafo de f, Ef , se define como
Ef = 1 (x, y) E En x E1 :

x E C,

y £ E.1 ,

y a f (x)DEFINICION 3 .El hipografo de f 9 Hf9 se define como
Hf = { (x 9

y) E E n

x El :

x E Co

y E El ,

y ` f (x)

x0
Figura 1 .- Ejemplo de funciones convexas y cóncavas con
indicaciónde su epigrafo e hipografo .

TEOREMA .

.-

f

es

convexa

sobre C si y solo si

cóncava

es convexo .

DEFINICION 4 .f es estrictamente convexa en C si :
x9 y E C 9

A E (O o1)

f ~~x+(1= ñ )y~ G a f(x)+(1-

A )f(y)

Una función f es estrictamente cóncava . si - f es estrictamente
convexa .
DEFINICION 5 .-

Sea f : C --C> El u{a-1 una función convexa defini da sobre
el conjunto convexo C . se dice que ~ es un subgradiente de f en
x0 1 C si
`dx

-E C

f (x) 1 f(x0 ) ¢ i,f(x 0 )(x -

x0)

TEOREMA 2 .Toda función convexa f, definida sobre unconjunto convexo

C, es convexa sobre C si y solo si

!(x) i f (x o ) +
3 ~ 8En
d xo E int C,

'f (xo ) (x - xo )

COROLARIO 1 .Si f es una función convexa valorada real, definida sobre...