Funcional

An´
alisis Funcional
Curso 2008

Licenciatura en Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad de la Rep´ublica
R. O. del Uruguay

ii

ii

´Indice general
1 Espacio de Banach
1.1 Espacios normados . . . . .
1.2 Cociente . . . . . . . . . . .
1.3 Completaciones . . . . . . .
1.4 Espacios de dimensi´on finita
1.5 Teoremas Fundamentales . .

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1
. 1
. 9
. 13
. 14
. 15

2 Hahn-Banach
21
2.1 Espacios Duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Hahn-Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3Topolog´ıa d´
ebil y d´
ebil-*
3.1 Espacios vectoriales topol´ogicos
3.2 Topolog´ıa d´ebil . . . . . . . . .
3.3 Espacios Reflexivos . . . . . . .
3.4 Teorema de Krein-Milman . . .

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4 Espacios de Hilbert
4.1 Producto interno . . . . . . . . .
4.2 Operadores en espacios de Hilbert
4.3 Isometr´ıa parcial . . . . . . . . .
4.4 Radio Num´erico de un operador .

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27
27
43
48
54

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59
59
74
93
95

5 Teorema espectral
99
5.1 Operadores compactos . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Operadores compactos en espacios de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . 102
A Ejercicios resueltos

113

iii

iv

´INDICE GENERAL

iv

Cap´ıtulo 1
Espacio de Banach
1.1

Espacios normados

Definici´
on 1.1. Una seminorma sobre el F−espacio vectorial X (donde F = R o C)
es una funci´on
: X → [0, +∞) tal que:
i) x + y ≤ x + y
ii) λx = |λ| · x

∀x, y ∈ X(Propiedad Triangular)

∀λ ∈ F, ∀x ∈ X (Propiedad Homog´enea)

Si adem´as x = 0 ⇒ x = 0 se dice que

es una norma.

Definici´
on 1.2. Un espacio X donde tenemos definido una norma es llamado espacio normado
Definici´
on 1.3. Sean (X,
X ), (Y,
Y ) dos espacios normados y T : X → Y le
llamamos operador lineal (transformaci´on lineal) si:
i) T (x + y) = T (x) + T (y) ∀x, y ∈ X (linealidad)
ii) T (λx)= λT (x) ∀λ ∈ F y ∀x ∈ X
Proposici´
on 1.1. Sean (X,
X ), (Y,
Y ) dos espacios normados y T : X → Y
un operador lineal. Si existe M > 0 tal que T x Y ≤ M para todo x ∈ X, entonces
T = 0.
Demostraci´
on. Supongamos que existe x0 ∈ X tal que T x0 = 0, luego T x0
y entonces existe λ = 0 tal que:
λ>
y ahora T λx0

Y

= λ T x0

Y

M
T x0

Y

=0

Y

> M lo que es una contradicci´on con la hip´otesis.Observaci´
on 1.1. La proposici´on anterior nos indica que los operadores lineales que
verifican la definici´on de funci´on acotada no tiene inter´es. Pero si tiene inter´es cuando
un operador lleva conjuntos acotados en conjuntos acotados. Con este prop´osito a
continuaci´on damos una definici´on que tambi´en es llamada acotaci´on, pero referido
a un operador, que rescata esta u
´ltimasituaci´on.
1

2

CAP´ITULO 1. ESPACIO DE BANACH

Definici´
on 1.4. Si (X,
X ), (Y,
Y ) son espacios normados o seminormados y
T : X → Y es un operador lineal, se dice que T es un operador acotado si existe
c > 0 tal que:
T x Y ≤ c x X ∀x ∈ X
y notamos por B(X, Y ) = {T : T es un operador acotado} o solo por B(X) si es
T :X→X
Definici´
on 1.5. Dado un operador acotado entre espacios normados o seminormados,llamamos norma del operador que notamos por T a:
T = m´ax{ T x
T = sup{ T x

Y

Y

: x

: x

X

X

= 1} (para espacios normados)

≤ 1} (para espacios seminormados)

por la definici´on anterior se tiene que T < ∞
Ejemplo 1.1. Los espacios Rn , Cn con la norma euclidea son espacios normados
Ejemplo 1.2. El espacio de las funciones medibles Lp (µ), p ≥ 1 y µ medida.
Ejemplo 1.3. El espacio de las...