funciones 3 y 4 grado

Profr. Efraín Soto Apolinar.

Funciones polinomiales de grados 3 y 4
Ahora vamos a estudiar los casos de funciones polinomiales de grados tres y cuatro.
Vamos a empezar con sus gráficas y después vamos a estudiar algunos resultados teóricos.
Función polinomial de tercer grado
La función polinomial de tercer grado es toda aquella función que se puede escribir de la forma:
Definición
1

y =a3 x 3 + a2 x 2 + a1 x + a0
donde a3 = 0.
La función polinomial de tercer grado también se conoce como función cúbica.
La función polinomial de tercer grado más sencilla es:
y = x3

Ejemplo 1

Grafícala, encuentra sus raíces, dominio y contradominio.
• Empezamos calculando sus raíces.
• Para que y = 0 se requiere que x3 = 0.
• En palabras esto nos está diciendo que debemos encontrarlos números que al multiplicarlos
por sí mismo tres veces obtengamos cero.
• El único número que satisface la condición anterior es x = 0.
• Esta es la única raíz de la función.
• Para encontrar el dominio recuerda que el dominio de cualquier función polinomial es el
conjunto de los números reales. (pag. ??)
• El contradominio se calcula de la sigiuente manera:
 Observa que cuando x espositivo, el resultado de elevarlo al cubo es positivo también.
 Cuando x es negativo el resultado de elevarlo alcubo es negativo.
• Entonces, el contradominio también es el conjunto de los números reales, porque cuando x
crece mucho los resultados de elevarlo al cubo también crece mucho.
• Esto mismo pasa con valores tanto positivos como negativos.
• La gráfica de la función está enseguida:www.aprendematematicas.org.mx

1/11

Profr. Efraín Soto Apolinar.

y
y = x3

1

−3

−2

−1 0
−1

1

2

x

−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8

Observa que la función f ( x ) = x3 puede factorizarse como y = x · x · x.
Para encontrar una raíz de la función debemos contestar a la pregunta: «¿Qué número multiplicado
por sí mismo tres veces es igual a cero?» Y la respuesta es obvia:«el número cero multiplicado por sí
mismo nos da cero», (0)(0)(0) = 0. Es decir, x = 0 es una raíz de la función, porque f (0) = 0.
Grafica la siguiente función polinomial:
y = x3 − x

Ejemplo 2

Calcula, además, sus raíces y su dominio y contradominio.
• Empezamos calculando sus raíces.
• Para eso factorizamos la expresión:

Profesor:
Sugiera el repaso
de la factorización
extra-claseen caso
de ser necesario.

y = x · ( x 2 − 1) = x · ( x + 1) · ( x − 1)
• De esta factorización calculamos fácilmente las raíces de la función.
• Para que el producto de los tres factores sea cero se requiere que al menos uno de ellos sea
cero.
• Tenemos tres casos: x = −1, x = 0, y x = 1.
• Entonces, la función corta al eje x en x = −1, x = 0 y x = 1.
• De nuevo,el dominio es el conjuntode los números reales, por cerradura.
• Y el contradominio también, porque cuando los valores de x crecen f ( x ) crece.
• Esto ocurre para valores positivos como negativos.
www.aprendematematicas.org.mx

2/11

Profr. Efraín Soto Apolinar.

• La gráfica de esta función es la siguiente:
y
6
5
4
3
2
y = x3 − x

1

−3

−2

−1 0
−1

1

2

3

x

−2
−3
−4
−5
−6Ahora observa que la función evaluada en x = −1, o en x = 0, o en x = 1 hace que f ( x ) = 0, y
que la factorización queda:
y = x 3 − x = x · ( x + 1) · ( x + 1)
Es decir, si r es una raíz de la función polinomial y = f ( x ) de grado n, entonces podemos
factorizarla como:
y = f ( x ) = ( x − r ) · g( x )
Donde g( x ) es otra función polinomial de grado n − 1.
Sea y = Pn ( x ) una funciónpolinomial de grado n. Si r es una de sus raíces, entonces la función
polinomial puede dividirse exactamente entre x − r.
Si la función se divide exactamente entre x − r entonces se puede factorizar como:
y = Pn ( x ) = ( x − r ) · Qn−1 ( x )
donde Qn−1 ( x ) es otro polinomio de grado n − 1. Entonces,
Pn (r ) = (r − r ) · Qn (r ) = 0 · Qn (r ) = 0
Esto nos indica que r es una raíz de la...