Funciones_Analiticas

3. Funciones analíticas

1

Derivada de una función compleja

Teorema del valor intermedio para funciones reales
Sea f(x) continua para a < x < b y f(a)f(b)entonces f toma todos los
valores entre f(a)yf(b) en el intervalo a b
Teorema del valor medio para funciones reales Si f(x) es continua en a < x < b y f
'(x) existe para a < x < b, entonces hay al menos un punto c (a < c < b) talque: f '(c)
= [ f(b)  f(a) ] / [ b  a ].
Ninguno de los dos teoremas aplican a las funciones complejas.
Por ejemplo: el teorema del valor intermedio, nos dice que si f(a)
= -1 y f(b) = 1 entonces necesariamente existe al menos un valor
a b, tal quef(. En compleja, podemos
empezar en -1 y acabar en +1 sin haber pasado por (0+0i).

-1

1

0

Además los dos
caminos tienen
longitudesdiferentes.

2

Derivada de una función real

f ( x0  x)  f ( x0 )
f ( x0 ) : lim
x  0
x

y

Si no existe el límite, no existe la
derivada en x0. Decimos entonces
que f(x) no es derivable o no es
diferenciable en x0.
Podemos hacer el límite por la
derecha y por la izquierda, y
ambos deben coincidir.

f ( x0  x)
f ( x0 )

x0 x0  x
x

x
3

Derivada de una función compleja

f ( z 0 z )  f ( z )
f ( z0 ) : lim
z  0
z

y

Observemos que ahora el límite se puede hacer no
solamente por la derecha o por la izquierda, sino
por infinitos caminos. Para que la derivada esté definida
el límite debe existir y ser el mismo independientemente
del camino.

z 0  z

f ( z0  z )  f ( z0 )

z0

v
f ( z0  z )

z

x

f ( z0 )

u

4

Ejemplo:
Mostrar que f(z) = zn es diferenciablepara todo z y
que f/(z) = nzn-1.
 n  n i
i
n


z
(

z
)

z

0
0


n
n
i
( z0  z )  z0
i 0
f ( z0 ) : lim
 lim  

z  0
z  0
z
z
n
 n  n i
i


z
(

z
)

i 0
n
 n  n i
i 1  
lim
 lim    z0 (z ) i  1 nz0n  1
z  0
z  0
z
i 1  i 
n

Observa que el resultado es independiente de la trayectoria
con que z se aproxima a cero. Como z0 es arbitrario,el
resultado es válido para todo z y f´(z) = nzn-1.
5

La reglas de derivabilidad son las mismas que en cálculo
de funciones reales de variable real:

(c f)/ = c f/
(f+g)/ = f/ + g/
(f g)/ = f/ g + f g/
(f/g)/ = (f/ g - f g/)/g2
La regla de la cadena rige de la misma forma.
Ejercicio:
Demostrar las reglas a
partir de la definición
de derivada.

6

7

8

Regla de L'Hôpital:
Si f(z0) = 0 y g(z0)= 0 y las funciones son
diferenciables en z0 con g'(z0) diferente de 0,
entonces:

f ( z)
f ' ( z)
lim
 lim
z  z0 g ( z )
z  z0 g ' ( z )
Extensión: Si f(z0) = f'(z0) = ... =
f(n-1)(z0) = 0 y g(z0) = g'(z0) = ... =
g(n-1)(z0) = 0 y las funciones y las
2n funciones derivadas son
diferenciables en z0 (y con g(n)
(z0) diferente de cero), entonces:

Guillaume François Antoine
Marquis de L'Hôpital(1671 – 1704)
(n)

f ( z)
f ( z)
lim
 lim ( n )
z  z0 g ( z )
z  z0 g
(9z )

Diferenciales
Si w = f(z) es continua y tiene primera derivada continua en una
región R, entonces:

w  f ' ( z ) z   z  f ' ( z ) dz   dz
donde   0 cuando z  0.
dw
w
dw  f ' ( z ) dz
f ' ( z) 
 lim
dz z  0 z
Diferencial de w
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Más falacias:
2

1 1
2

2 2  2
2

3 3  3  3
2

4 4  4  4 4


Derivando a ambos lados:

2 x 1  1  x
x veces

2

x x  
x
x veces

2 1
11

Algunas funciones reales no poseen derivada
(en ciertos puntos)...

y

Por ejemplo:

y

1
f ( x) 
x

x
De forma similar, algunas funciones complejas
no poseen derivada… ¡en ningún punto del plano
complejo!
Demostrado por Cauchy en 1820

x

12

Fractales: Curva de Koch, copo de nieve o isla deldiablo

Niels Fabian Helge
von Koch (1870 – 1924)

Continuo en todos sus puntos pero no
diferenciable en ninguno.¡Perímetro infinito en un área finita!

13

Curva de Weierstrass
La curva de Weierstrass es, históricamente
hablando, el primer fractal conocido. Fue
creado o descubierto (según las preferencias
filosóficas del lector) por el matemático
Karl Weierstrass en 1861. Lo notable en este...