Funciones Bessel

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5.2.7 EJERCICIOS 1.-Resolver númericamente a) x'[t]=(t^2-x[t])/(t+x[t]^2) con condición inicial x[0]=1 b) Obtener x'[0] c) Representarla gráficamente d)Obtener el número de pasos empleados por el método para resolver la ecuación e)Resolver la ecuación númericamente utilizando el método de Runge-Kutta y obtener el número de pasos empleados. Dibujar lasolución. f)¿Con cuál de los dos métodos se resuelve en menos pasos la ecuación? 2.-a) Resolver númericamente la siguiente ecuación de ondas D[y[x, t], t, t] == D[y[x, t], x, x] es la ecuación de ondas con condiciones y de contorno y[x, 0] == Exp[-x^2], Derivative[0,1][y][x, 0] == 0,y[-5, t] == y[5, t]. b) Dibujar la solución como superficie de R3 y como curva en R2 para diferentes valores de t.3.- Idem para la ecuación de Sine-Gordon D[y[x, t], t, t] == D[y[x, t], x, x] + Sin[y[x, t]] con condiciones iniciales y de contorno y[x, 0] == Exp[-x^2], Derivative[0,1][y][x, 0] == 0, y[-5, t] == y[5, t] . 4.-a) Resolver de forma exacta el sistema x'[t]=x-y+1 y'[t]=x+3y+e^(-t) con condiciones iniciales x[0]=0,y[0]=1. b) Dibujar la curva solución c) Resolverlo de forma aproximada d) Dibujar lasolución

CAPITULO Vl APLICACIONES AL CÁLCULO: FUNCIONES ESPECIALES
Mathematica incluye definiciones de funciones especiales de física-matemática, tales como la función gamma, la función beta, funciones de Bessel......

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6.1. FUNCIÓN GAMMA DE EULER Y FUNCIONES RELACIONADAS
6.1.1. LA FUNCIÓN GAMMA La función gamma se define como (z)=
0

tz

1

et dt

La función Gamma puede verse como una generalización de la función factorial para argumentos no enteros, ya que Gamma[p]=(p-1)!, si p es entero La sintaxis es la siguiente: Gamma[x] da el valor de la función Gamma para x Mathematica da el resultado exacto para algunos valores particulares de la función
1 Gamma 2 Π Gamma 3 2

En cambio cuando el resultado exacto no es conocido
12 Gamma7 12 Gamma 7

es posible obtener un valor aproximado con //N
N 0.911423339638174 ?? Gamma Gamma z is the Euler gamma function. Gamma a, z is the incomplete gamma function. Gamma a, z0, z1 is the generalized incomplete gamma function Gamma a, z0 Gamma a, z1 . Attributes Gamma Listable, NumericFunction , Protected

La función Gamma es una función con el atributo Listable
1 Gamma 2 Π , 720 ,7El gráfico de la función Gamma es el siguiente

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Plot N Gamma x

, x,

10, 10

6 4 2

-10

-5 -2 -4

5

10

Graphics

Mathematica conoce propiedades analíticas de la función, como su derivada
x Gamma

x

Gamma x PolyGamma 0, x

Algunas integrales definidas se pueden calcular en términos de la función Gamma
x E
0 x

xΠ 2

6.1.2. LA FUNCIÓN BETA La función Beta de Euler se define como
1

Β(a,b)=
0

ta

1

1

t

b 1

t

y está relacionada con la función Gamma por la fórmula Β(a,b)= (a) (b) / (a+b) La sintaxis es la siguiente Beta[a,b]

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6.1.3. OTRAS FUNCIONES RELACIONADAS Gamma[a,z] la función Gamma incompleta, se define como (a,z)=
z

ta1

e t dt

• Gamma[a,z0,z1] la función gamma incompleta generalizada se define como
z1

(a, z0 , z1 )=
z0

ta

1

e t dt

• Beta[z,a,b] la función Beta incompleta se define como
z

Βz (a,b)=
0

ta

1

1

t

b 1

t

• PolyGamma[z] la función digamma se define como la derivada logaritmica de la función gamma Ψ(z)= '(z) / (z)

6.1.4. EJERCICIOS 1. Calcular lassiguientes integrales eulerianas a)
0

xe

x3

x

b)
0

x2 p

1

e

x2

x

2.- Calcular las siguientes integrales eulerianas
Π

a)
0

2

Sin x

n

x

Π

b)
0

2

Cot x

n

x

6.2. LA FUNCIÓN DE ERROR Y FUNCIONES RELACIONADAS
La función de error , Erf[z], es la integral de la distribución gaussiana dada por
z

erf(z)=2 / Π
0

e

t2

t...