Funciones biyectivas

Funciones Biyectivas

Definición: Sean, (distintos de ), y sea una función. Diremos que:
(i) es una función inyectiva en si y sólo si
.

(ii) es una función epiyectiva si ysólo si .

(ll) es una función biyectiva si y sólo si es inyectiva y epiyectiva simultaneamente.

Ejemplos:
1.- Sea una función tal que . ¿ es una función biyectiva?.
Solución:i) Por ver que sea inyectiva.
Si por demostrar que

De donde se concluye que es inyectiva.

ii) , luego

Como , se tiene que puede ser cualquier número real. Así , portanto es epiyectiva.
Finalmente, como es inyectiva y epiyectiva, entonces es biyectiva.

Observación:
1.-

2.- Toda función es epiyectiva.

Ejercicios:
1.- Sea una función, talque . ¿ es inyectiva?, en caso de que no lo sea redefina la función de modo que sea inyectiva.
2.- Si es una función de modo que . ¿ es una función epiyectiva?. En caso de que no losea, redefina la función de modo que lo sea.

Definición: Sean, (distintos de ), y sea una función biyectiva, entonces existe la función que es la función inversa de , la cual sedefine como:

donde
.

Observación: Si es biyectiva y su inversa, entonces:
, y .

Ejemplos:
1.- Sea una función tal que . es una función biyectiva. En efecto
(i) Si ,por demostrar que .

Por lo tanto es inyectiva.

(ii) , luego

Como , se tiene que puede ser cualquier número real. Así , por tanto es epiyectiva.

Por (i) y (ii) esbiyectiva. Luego existe , donde

Así .

2.- La función definida por , es una función biyectiva, por tanto existe , donde

Luego .

Ejercicios:
1.- Determine cual de los siguientesgráficos representa una función inyectiva:
a) b)
c) d)

2.- Si es una función, donde . Hallar intervalos en el dominio de , donde la función sea inyectiva.