funciones complejas

57 Análisis matemático para Ingeniería.

M. MOLERO; A. SAL VADOR; T. MENARGUEZ; L. G ARMENDIA

CAPÍTULO 2
Funciones complejas

Como se ha comprobado en el capítulo anterior, el plano complejo C se
puede considerar isomorfo al plano real, ℜ2. Esto puede llevar a pensar, a la
hora de definir una función sobre C, que la situación es análoga a la de una
función de dos variables reales, yaque si z = x + i⋅y, la función f(z) se puede
considerar como una función que depende de las variables reales x e y. Pero
esto no es totalmente cierto en general, y la razón es que f(z) es también una
función de una única variable, la variable compleja z. Es por ello que una
función compleja se puede considerar que está a medio camino entre las
funciones de una variable real y las de dosvariables reales, y esto hace posible
que para una función compleja se puedan definir conceptos que no es posible
definir para funciones de dos variables reales, como es el caso de la derivada
de una función .
Dentro de las funciones definidas en C se estudian en la Sección 2
aquéllas que tienen una dependencia directa de la variable z = x + i⋅y, y no son
simplemente funciones de las variablesseparadas x e y. Se introducen en
primer lugar las funciones complejas, se definen las funciones elementales
como extensiones de las correspondientes reales y se estudian los límites y la
continuidad de las funciones complejas, que tienen un comportamiento análogo
al caso de las funciones definidas en ℜ2.

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Capítulo 2º: Variable Compleja

© M. MOLERO; A. SALVADOR; T. MENARGUEZ; L.GARMENDIA

La derivada compleja, que se introduce en la Sección 3, es un concepto
fundamental dentro de la teoría de funciones de una variable compleja porque,
aunque la definición es análoga a la de derivada de una función de una variable
real, el hecho de que el límite se tome en el plano complejo hace que las
condiciones en las que existe la derivada sean más fuertes que en el caso real.
Estaes la razón por la que una función compleja que sea derivable en un
subconjunto adecuado del plano complejo tenga un comportamiento mejor que
en el caso real.
Las funciones derivables en todos los puntos de un conjunto abierto G del
plano complejo se denominan funciones holomorfas en G y se estudian en la
Sección 4. Tienen un interés especial porque a partir de ellas se pueden
deducirresultados realmente sorprendentes, como se verá mas adelante en los
Capítulos 4 y 5.
El capítulo termina con la introducción, en la Sección 5, de las funciones
armónicas, funciones de dos variables reales, que son las soluciones de la
ecuación de Laplace en ℜ2, y se estudia la relación que existe entre ellas y las
funciones holomorfas de una variable compleja.

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Funciones complejas 59

2.1. DEFINICIÓN. FUNCIONES ELEMENTALES
2.1.1. Definición de función compleja
Definición 2.1.1:
Dado un subconjunto S del plano complejo C, se denomina función
compleja de una variable compleja f(z) a una aplicación f : S → C tal que a
cada valor z ∈ S ⊆ C le corresponde un único número complejo f(z).
Si z = x + i⋅y, la función f(z) se puedeexpresar de la forma
f(z) = u(x, y) + i⋅v(x, y),
donde u y v son funciones de dos variables reales que representan
respectivamente la parte real y la parte imaginaria de f(z).
Así, por ejemplo, la función f(z) = z 2 + 1 se puede expresar como:
f(z) = (x + i⋅y)2 + 1 = x2 – y2 + 2x⋅y⋅ i + 1 = u(x, y) + i⋅v(x, y),
con u(x, y) = x2 – y2 + 1 y v(x, y) = 2x⋅y.
Definición 2.1.2:
Se llama dominiode la función al conjunto S de puntos en los que la
función está definida, y se llama imagen de f al conjunto formado por todos los
valores complejos que toma la función. Si no se especifica, el dominio es el
máximo subconjunto del plano complejo C en el que la función está definida.
De la expresión f(z) = u(x, y) + i⋅v(x, y) se deduce que una función
compleja por una parte se puede suponer...