Funciones continuas

INTRODUCCION

La idea intuitiva de lo que conocemos por trazo continuo es el dibujo de una línea sin saltos, es decir, el trazo de un lápiz sin despegar la punta del papel. Esta idea se trasponeal gráfico de una función y de esto se deduce la definición de continuidad de una función.

Observemos los siguientes gráficos.

[pic]

[pic] [pic]

Estos gráficos muestran lo que es trazocontinuo y trazo no continuo. De acuerdo a esto se define entonces lo que es una función continua. La continuidad de una función se observa directamente en su gráfica. Pero la definición formal decontinuidad de una función en un punto tiene relación con la imagen de la función siempre que coincida con su límite en dicho valor de x.

Definición de Continuidad en un Punto

Una función f(x) escontinua en x = a si y sólo si cumple las tres condiciones siguientes:

i) f(a) está definida

ii) [pic]

iii) [pic]

Si no se cumplen las dos primeras condiciones no puede obtenerse latercera. Entonces, la tercera condición requiere la existencia previa de las dos primeras y que sean iguales.

Continuidad en un punto.

La primera de estas condiciones nos dice que la funcióndebe estar definida en el punto donde se requiere la continuidad, es decir, en, x=a, dicho de otro modo, f (a) debe ser un número real.

La segunda condición nos habla acerca de laaproximación de la función a un valor numérico por el lado izquierdo y por el lado derecho, valor numérico que debe ser el mismo. Recordemos que la existencia del límite depende de la igualdad de los límiteslaterales.

La tercera condición condiciona la continuidad a la igualdad del valor de la función x=a, es decir f(a) con el valor numérico obtenido en el límite.

Ejemplo:

Sea[pic] entonces

[pic]

Es una forma indeterminada que sólo da resultado al eliminar el factor común x – 2 La gráfica es discontinua en x = 2. A pesar de la existencia de límite,...