Funciones continuas

Funciones continuas

En el curso de cálculo diferencial estudiamos una definición simple de la continuidad que tiene una función en un punto de R . Veamos como se planteaban entonces.
Sea a∈R y f:R→R una función bien definida. Diremos que f es continua en x=a si;
a ϵ Dom(f)
∃limx→af(x)
limx→af(x)=f(a)
Si fallan alguna de estas tres condiciones entonces la función no es continua en x=a,es decir; f es discontinua en x=a. Además diremos que f en continua en un intervalo o en un subconjunto de R si f en continua en cada punto del intervalo o del subconjunto de R, por consecuencia podemos decir que f es discontinua en un intervalo o subconjunto de R si lo es en un punto que pertenece a dicho intervalo o subconjunto de R .
Las funciones continuas constituyen una clase fundamentalpara las operaciones del análisis matemático.
Una idea intuitiva de función continua se tiene al considerar que su gráfico es continuo, en el
sentido que se puede dibujar sin levantar el lápiz de la hoja de papel, como en la figura 1.1 y no
como en la figura 1.2.

Función continúa

Figura 1.1

Función discontinua


Figura 1.2
Una función continua provee la expresión matemática dela situación muy frecuente de que a «incrementos
pequeños» de la variable independiente corresponden «incrementos pequeños» de la variable
dependiente.
En el curso de análisis matemático estudiaremos la continuidad de las funciones de forma más formal.
Definición 1:
Sea A⊆R, sea f:A→R, y sea c∈A. Se dice que f es continua en c si dada cualquier vecindad V de f(c), existe una vecindad UV dec tal que si x∈A∩UV, entonces f(x) pertenece a V.
Definición 2:
Sea A⊆R, sea f:A→R. Si B⊆A, se dice que f es continua en B si f es continua en cada punto de B.
Teorema 1
Sea A⊆R, sea f:A→R, y sea c∈A. Entonces las condiciones siguientes son equivalentes:
i. f es continua en c
ii. Dado cualquier ε>0 existe δε>0 tal que si x-c<δε y x∈A, entonces fx-f(c)<ε.
iii. Si xn esuna sucesión cualquiera de números reales tal que xn∈A para toda n∈N y xn converge a c, entonces fxn converge a f(c).

Demostración:
i)⟹ii)
Dado ε>0 y δε>0 tal que x-c<δε y x∈A
Luego;
x-c<δε⟹-Nδε<x-c<δε
⟹c-δε<x<c+δε
⟹x∈c-δε,c+δε
Ahora , como f es continua en c, para cualquier Vecindad V de f(c),existe una vecindad UV de c tal que si x∈A∩UV, entonces f(x)∈V. Para la vecindad V=fc-ε,fc+ε la cual contiene a f(c), existe UV⊆c-δε,c+δε tal que x∈A∩UV, por lo que f(x)∈V, es decir,
f(x)∈V⟹f(x)∈fc-ε,fc+ε
⟹fc-ε<fx<fc+ε
⟹-ε<fx-fc<ε
⟹fx-f(c)<ε
∴∀ε>0,∃δε>0 t.q. x-c<δε⟹fx-f(c)<ε

ii)⟹iii)
Consideremos una sucesión xntal que xn∈A, para todo n∈N y xn converge a c. Por definición de convergencia, para ε>0, δε>0, existe N∈N tal que , n>N implica que xn-c<δ(ε).
Luego, por hipótesis se tiene que: fxn-f(c)<ε. Es decir;
∀ε>0,∃N∈N:n≥N⟹fxn-f(c)<ε
∴f(xn) converge a f(c)

iii)⟹i)
Razonemos por absurdo, supongamos que f no es continua en c, es decir, para una vecindad V de f(c),toda vecindad UV de c donde x∈A∩UV cumple que f(c)∉V, luego, f(x)∉fc-ε0,fc+ε0 para algún ε0>0, el cual obtenemos que fx-f(c)≥ε0 (I)

Consideremos una sucesión xn∈A∩UV tal que, xn converge a c, luego por hipótesis f(xn) converge a f(c), es decir, parea un N∈N se cumple que;
n>N⟹fxn-f(c)<ε, ∀ε>0
Tomando ε=ε0 se tiene que;
n>N⟹fxn-f(c)<ε0 ‼
Contradicción por (I) ya quexn∈A∩UV
Lo supuesto es falso
∴f es continua en c
Así probamos que las tres condiciones son equivalentes.

Este teorema nos brinda un visual mas claro de la discontinuidad y lo explicaremos muy bien en el siguiente corolario.
Corolario 1 del teorema 1 (Criterio de discontinuidad)
Sea A⊆R, sea f:A→R, y sea c∈A. Entonces f es discontinua en c si y solo si existe una sucesión (xn) en A tal que...