Funciones continuas

MATEMATICAS 2º Bachillerato

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MaTEX

r=A+lu A

d B s=B+mv

Continuidad
Fco Javier Gonz´lez Ortiz a

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c 2004 gonzaleof@unican.es 12 de junio de 2004

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Tabla de Contenido
1. Continuidad 1.1. ¿Qu´ es una funci´n continua?e o 1.2. Definici´n de continuidad o 1.3. Algebra de las funciones continuas 2. Discontinuidad 2.1. Discontinuidad Evitable 2.2. Discontinuidad de salto finito 2.3. Discontinuidad de salto infinito 3. Teoremas de Continuidad 3.1. Continuidad en un intervalo 3.2. Teorema de Bolzano 3.3. Teorema de los valores intermedios 3.4. Teorema de los Valores Extremos 4. Ejercicios de repaso Soluciones a losEjercicios Soluciones a los Tests

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1. Continuidad 1.1. ¿Qu´ es una funci´n continua? e o Para una primera aproximaci´n gr´fica, si piensas en el grafo de una o a funci´n, decimos que una funci´n es continua cuando podemos recorrer el o ografo de la funci´n si tener que realizar ning´n salto. Observa las figuras de o u abajo

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2

2

La funci´n de la izquierda no presenta ning´n salto y decimos que es o u continua. La funci´n de la derecha presenta un salto en el punto x = 2. o Decimos que no es continua en este punto.

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1.2. Definici´n de continuidad o Definici´n 1.1 Sea f una funci´n y a ∈ Dom(f ) decimos que f es continua o o en x = a cuando lim f (x) = f (a) (1)
x→a

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2. Exista el l´ ımite de f en x = a. 3. Los dos valores anteriores coincidan. Ejemplo 1.1. La funci´n f (x) = 3 es continua en todo punto a ∈ R o o Soluci´n: En efecto, para todopunto a ∈ R vemos que se verifica la definici´n, o pues
x→a

lim f (x) = f (a) = 3

Ejemplo 1.2. La funci´n f (x) = C donde C es cualquier constante, es cono tinua en todo punto a ∈ R Soluci´n: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definici´n, o o pues
x→a

lim f (x) = f (a) = C

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La continuidad de f en x = a implica que se cumplanlas condiciones: 1. La funci´n est´ definida en x = a, es decir exista f (a). o a

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Establecemos este resultado como La funci´n f (x) = C es continua en todo x ∈ R o Ejemplo 1.3. La funci´n f (x) = x2 es continua en todo punto a ∈ R o o Soluci´n: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definici´n, opues
x→a

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lim f (x) = lim x2 = f (a) = a2
x→a

Ejemplo 1.4. La funci´n f (x) = xn con n ∈ N es continua en todo punto o a∈R o Soluci´n: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definici´n, o pues lim f (x) = lim xn = f (a) = an
x→a x→a

Establecemos este resultado como La funci´n f (x) = xn es continua en todo a ∈ R o
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1.3. Algebra de las funciones continuas Sean f y g funciones continuas en un punto a ∈ R. Entonces Algebra de funciones continuas Homogeneidad Suma Producto Cociente c · f (x) con c ∈ R es continua en a ∈ R f (x) + g(x) es continua en a ∈ R f (x) · g(x) es continua en a ∈ R f (x) si g(a) = 0 es continuaen a ∈ R g(x) x+k 2 x+k 2 x=1 x=1 x=1 x=1

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Ejemplo 1.5. Calcular el valor de k para que la funci´n sea continua o f (x) = Soluci´n: Siendo o f (x) = f (1) = 2
x→1

lim x + k = 1 + k
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Para que sea continua, 1 + k = 2 =⇒ k = 1 .

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Ejemplo 1.6....