Funciones cuadraticas

FUNCIONES CUADRÁTICAS
 
ACTIVIDADES DE INTRODUCCIÓN
1. Si en un cuadrado aumentamos en 6 unidades dos lados paralelos obtenemos un rectángulo. Calcula el área del rectángulo en función del lado x del cuadrado. [pic]
2. Una mujer tiene un estanque rectangular de 5x3 metros. Quiere hacer un camino alrededor del estanque como muestra el siguiente dibujo:[pic]. La anchura del camino ha deser constante en todo el contorno.
Llama x a la anchura constante del camino.¿Cuál será el área A del camino?
Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla.
Dibuja unos ejes y dibuja los puntos (x, A).
Si el área del camino ha de ser de 30 m2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino.
¿Para qué valor de x es A =100?
Actividad resuelta

3. El director de un teatro estima que si cobra 30 €  por localidad, podría contar con 500 espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría 100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas en función del número de bajadas del precio.
Observa la tabla:
|euros descuento |0 |1 |2|x |
|Precio |30 |30-1 |30-2 |30-x |
|Nº espectadores |500 |500+100.1 |500+100.2 |500+ 100x |
|Ingresos |30.500 |(30-1)·(500+100.1) |(30-2)·(500+100.2)|(30-x)·(500+100.x) |

Los ingresos obtenidos son
[pic]
siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la entrada.
|Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son |
|números cualesquiera, con la condición de que a sea distinto de 0 . |

Lasfunciones f(x) = x2 + 6x,  g(x) = x2  + 16  y   G(x) = - 100 x2 + 2500 x + 15000
que se corresponden con las tres primeras actividades, son ejemplos de funciones cuadráticas.
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
|x|

Ejemplo
Si  f(x) = x2 + 4 x + 3, entonces [pic]y f(2) = -1. Y el vértice será V = (2,-1).
Actividad
 
4. Dada la parábola  y =- x2 + 2 x + 3 , determina la coordenadas de los puntos indicados.
[pic]
Cortes con los ejes
Observa las parábolas:
a.    y = - x2 + 2x + 3
[pic]
Los puntos de corte con el eje X sonde la forma (x,0). Sustituyendo y por 0 en la fórmula obtenemos la ecuación de 2º grado - x2 + 2x + 3 = 0, cuyas soluciones son x = -1, y x = 3.
Los puntos de corte son (-1,0), (3,0).
El punto de corte con el eje Y se obtiene haciendo x = 0 en la ecuación de la parábola. Por tanto, será (0,3).
b.   y = x2 - 4x + 4
[pic]
Puntos de corte con el eje X:Resolviendo la ecuación x2 - 4x + 4 = 0, se obtiene como única solución x = 2, que nos proporciona un solo punto de corte con el eje X :(2,0).
Punto de corte con el eje Y: (0,4).
c.   y = x2 - 2x + 3
[pic]
Puntos de corte con el eje X:
Si resolvemos la ecuación x2 - 2x + 3 = 0 obtenemos que [pic]. No existe solución y, por lo tanto, no tiene cortes con el eje X.Punto de corte con el eje Y: (0,3)
Actividades
 
5. Determina los cortes con los ejes de las parábolas siguientes:
a.   y = 2x2 -14x + 24         b.   y = 5x2 - 10x + 5        c.   y = 6x2 + 12
d.   y = 3(x - 2)(x + 5)        e.   y = 3(x - 2)2                f.   y = 3(x2 + 4)
 
6. Determina la ecuación de una parábola cuyos cortes con el eje X sean...