Funciones Cuadraticas

Objetivo:
Determinar características de funciones cuadráticas a partir del criterio o de la gráfica.

Contenido:
Función cuadrática: definición, ámbito, eje de simetría, vértice, intersección con los ejes, concavidad, gráficas, variación.

RESUMEN

FUNCION CUADRÁTICA
Una función cuadrática es una función de la forma f(x)= ax2 + bx + c , donde a,b,c  IR, a  0. La gráfica de unafunción de este tipo, corresponde a una parábola, como las siguientes:

En toda función cuadrática:
1. a : es el coeficiente del término x2. Según sea su signo (positivo 0 negativo), indica el sentido de la parábola; esto es:
• Si a > 0 ( número positivo) entonces la parábola es CÓNCAVA HACIA ARRIBA, su
gráfica alcanza un punto mínimo, llamado VÉRTICE. Su representación en el planoqueda expresada como se ilustra en las siguientes figuras:




Vértice
Punto mínimo

(Vértice)
Punto mínimo

• Si a 0 (positivo) entonces la parábola interseca al eje de las abscisas en dos puntos, los cuales son: (x1 , 0) y (x2, 0). Dichos valores x1 y x2los podemos obtener con ayuda de la calculadora.
Ver figura adjunta:



• Si  < 0 (negativo) entonces la parábola no interseca al eje X, los valores para x1 y x2 no existen en lR. Ver figura adjunta:

• Si  = 0 entonces la parábola interseca al eje X en un único punto, dicho punto corresponderá al parordenado (x1 , 0).

Ver figuras adjuntas:




En resumen:
Para determinar si la parábola interseca o no el eje de las abscisas, debemos buscar el valor del discriminante de la ecuación cuadrática asociada con el criterio de la función en estudio.

Positivo : La parábola interseca al eje X en (x1,0) y(x2,0)

Si el discriminante es Cero: La parábola interseca al eje X en un único punto:
(x1, 0).

Negativo: No hay punto de intersección de la parábola con el eje
X.

VERTICE DE UNA PARABOLA:
El punto más alto (punto máximo) o más bajo(punto mínimo) que una parábola pueda alcanzar se denomina vértice, simbólicamente denotado con V. Dicho punto se puede determinar por medio de los coeficientes del criterio de la función: ax2 + bx + c, este par ordenado se define mediante el par ordenado:
V =
EJE DE SIMETRÍA:
La recta paralela al eje Y que pasa por la coordenada x del vértice: , constituye el eje de simetría de unaparábola, su ecuación está dada por X =
Ver figura adjunta:

X =
Eje de simetría

REGIMEN DE VARIACION DE UNA FUNCION CUADRÁTICA:

Si una función cuadrática está definida en su dominio máximo (este es lR), las coordenadas “x” e “y” del vértice, van a definir en qué intervalo del dominio la función esestrictamente creciente o estrictamente decreciente, así como el intervalo correspondiente al ámbito de ésta.
Lo anterior se resume así:

Si f(x) = ax2 + bx + c es cóncava hacia arriba Si f(x) = ax2 + bx + c es cóncava hacia
abajof : ] , + [ f : ] -  , [
f : ] -  , [ f : , + [

AMBITO AMBITO
[ ,+ [ ] - , ]

PRACTICA. SELECCIÓN ÚNICA...