Funciones Cuadraticas





INTRODUCCIÓN
En este ensayo describiré de manera general cada aspecto de la función cuadrática o de segundo grado, empezando con un poco de antecedentes de esta ecuación. Esta función resulta muy útil, ya que nos sirve para resolver problemas cotidianos, solo basta con saber emplear las fórmulas para obtener un resultado.

La ecuación de segundo grado y la solución tiene origenantiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla en Babilonia.
En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.
La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya, en su Liber embadorum.

















Las Funciones Cuadráticas
La forma general de una función cuadrática es:
El dominiode las funciones cuadráticas es el conjunto de todos los números reales y el contradominio es el subconjunto de los reales que va desde el vértice hasta más infinito o menos infinito, dependiendo de que la parábola abra hacia arriba o hacia abajo.
En una función cuadrática la potencia mayor de la variable de entrada (generalmente x) es: 2.
Por ejemplo: y=x², y= 3x²+5, 2x²-x-1=0 son funcionescuadráticas.
Se grafica una función cuadrática con los mismos pasos que se usan para graficar una función lineal, pero la gráfica de una función cuadrática es una línea curva no recta. Las gráficas de las funciones cuadráticas son curvas llamadas parábolas y tienen la forma de la letra U.
A continuación explicare como encontrar el resultado de una función cuadrática y graficarla.
Por ejemplotenemos esta función cuadrática: y= -2x²+1
Escogemos algunos valores para x y hagamos una tabla:
x
-2x²+1
y
(x,y)
-2
-2(-2²)+1= -7
-7
(-2,-7)
-1
-2(-1²)+1= -1
-1
(-1,-1)
0
-2(0²)+1=1
1
(0,1)
1
-2(1²)+1=-1
-1
(1,-1)
2
-2(2²)+1=-7
-7
(2,-7)

Debido a que la gráfica es curva marca más puntos que los de una línea recta, de modo que se pueda ver más la forma de la curva.

Ahoratengo que graficar los puntos (x, y).


Como se puede observar es una parábola.
En un principio se señala que la forma general de las funciones cuadráticas es:



Ahora voy a ejemplificar con la siguiente función:





Una representación tabular es la siguiente:
x
f(x)
-1
-8
0
-3
1
0
2
1
3
0
4
-3
5
-8
De manera gráfica:

En este caso las constantes son: a=-1 b=4c=-3. Esta parábola abre hacia abajo, dado que a=-1; su vértice es el punto máximo, cuya coordenada x es:




En la representación tabular vemos que a este valor de x le corresponde


Por lo que el vértice de la parábola es el punto: (2,1)
Al igual que en la recta el termino independiente indica el punto donde la parábola intersecta al eje y, en esta función es el punto (0,-3).
Eldominio de esta función es (-∞, ∞) y el contradominio es (-∞, 1).
Como se puede ver en la figura de arriba, esta parábola cruza el eje x en dos puntos, es decir tiene dos raíces. Al igual que con la función lineal, para encontrar las raíces se resuelve la ecuación


A diferencia de las funciones lineales, no se puede despejar directamente; por lo tanto, se factoriza cuando es posible, o se utilizala formula general:

En este caso:



Las raíces son: x=1 y x=3

Ejercicios
1) x²+3x+2=0
x
x²+3x+2=0
y
(x,y)
-5
(-5)²+3(-5)+2=
12
(-5,12)
-4
(-4)²+3(-4)+2=
6
(-4,6)
-3
(-3)²+3(-3)+2=
2
(-3,2)
-2
(-2)²+3(-2)+2=
0
(-2,0)
-1
(-1)²+3(-1)+2=
0
(-1,0)
0
(0)²+3(0)+2=
2
(0,2)
1
(1)²+3(1)+2=
6
(1,6)
2
(2)²+3(2)+2=
12
(2,12)2) 2x²-3x+1

x
2x²-3x+1
y
(x,y)
-5
2(-5)²-3(-5)+1=
66
(-5,66)
-4
2(-4)²-3(-4)+1=
45
(-4,45)
-3
2(-3)²-3(-3)+1=
28
(-3,28)
-2
2(-2)²-3(-2)+1=
15
(-2,15)
-1
2(-1)²-3(-1)+1=
6
(-1,6)
0
2(0)²-3(0)+1=
1
(0,1)
1
2(1)²-3(1)+1=
0
(1,0)
2
2(2)²-3(2)+1=
3
(2,3)
3
2(3)²-3(3)+1=
10
(3,10)
4
2(4)²-3(4)+1=
21
(4,21)
5
2(5)²-3(5)+1=
36...