Funciones de dos variables

Funciones de dos variables
Hasta aquí hemos trabajado solamente con funciones de una única variable independiente. Muchas magnitudes que nos son familiares son funciones de dos o más variables independientes, por ejemplo el volumen de un cilindro depende de dos variables la altura y el radio. La notación para una función de dos varibles en similar a la de una sola variable. Así denotamos por : auna función de dos variable D œ 0 ÐBß CÑ Def 1.- Sea H © ‘2 ß una función de dos variables independientes es una correspondencia que asocia a cada par ÐBß CÑ en H un único número real D œ 0 ÐBß CÑ El conjunto H es el dominio de la función 0 y el correspondiente conjunto de valores D que toma 0 es el recorrido o imagen de 0 Þ Dominio 0 œ H Recorrido 0 œ ÖD − ‘ Î D œ 0 ÐBß CÑß ÐBß CÑ − H× Al igualque con las funciones de una variable, generalmente se utilizan ecuaciones para describir funciones de dos variables. El dominio es el conjunto de todos los puntos ÐBß CÑ del plano para los cuales la ecuación está bien definida o las reglas de definición asignan números reales. Ej 1.- 0 ÐBß CÑ œ È"'  B#  C# Para esta función de dos variables se tiene que: Dominio 0 œ ÖÐBß CÑÎ B#  C# Ÿ "'×Recorrido 0 œ c!ß %d Ej 2.- 0 ÐBß CÑ œ C  B B Dominio 0 œ ÖÐBß CÑÎB Á !× Recorrido 0 œ ‘ Ejercicio Encuentre el Dominio y el Recorrido de las siguientes funciones. Represente gráficamente el dominio. (a) 0 ÐBß CÑ œ B#B CC#  (b) 1ÐBß CÑ œ
È B#  C #  * B
# #

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Gráficas
Consideremos una función de dos variables, D œ 0 ÐBß CÑÞ existen dos formas para representar gráficamente a estasfunciones. Def 2.- Si 0 es una función de dos variables con dominio W, entonces la gráfica de 0 es el conjunto K< 0 œ ÖÐBß Cß DÑ − ‘ $ Î D œ 0 ÐBß CÑ ß ÐBß CÑ − W× cuya representación en el espacio coordenado tridimensional es una superficie WÞ

Observemos que la gráfica de D œ 0 ÐBß CÑ es una superficie W , cuya proyección en el plano BC es el conjunto HÞ A cada punto ÐBß CÑ − H le corresponde un puntoÐBß Cß DÑ − W y recíprocamente , a cada ÐBß Cß DÑ − W le corresponde un punto ÐBß CÑ − HÞ Ej 1.- Trace la gráfica de la función 0 ÐBß CÑ œ ÈB#  C# La gráfica de 0 corresponde a la gráfica de la superficie D œ ÈB#  C# ß que representa un cono.

Ej 2.- Trace la gráfica de la función 0 ÐBß CÑ œ '  #B  $C La gráfica de 0 es un plano cuya ecuación es D œ '  #B  $C El ejemplo anterior es un casoparticular de la función lineal 0 ÐBß CÑ œ +B  ,C  .ß cuyo gráfico es siempre un plano con ecuación D œ +B  ,C  . o +B  ,C  D  . œ !
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Curvas de nivel
El otro método gráfico que es útil para visualizar una función de dos variables consiste en trazar en el plano BC las curvas de nivel. Def 3.Las curvas de nivel de una función 0 de dos variables son las curvas de las ecuaciones 0 ÐBß CÑœ 5 , donde 5 pertenece al recorrido de 0 Þ Un mapa de contorno de la superficie D œ 0 ÐBß CÑ es aquel en que se dibujan diferentes curvas de nivel, correspondientes a las alturas constantes 5" ß 5# ß 5$ ß ÞÞÞÞÞÞÞß 58 Þ Ejemplos de este tipo de mapas son los mapas metereológicos , aquí las curvas de nivel corresponden a los puntos de igual temperatura, se denominan isotermas. Otro ejemplo son losmapas topográficos que representan regiones de la superficie terrestre , en cuyo caso las curvas de nivel corresponde a puntos que están a la misma altura sobre el nivel del mar. Ej 1.- Trace las curvas de nivel para la función 0 ÐBß CÑ œ "!!  B#  C# Como Recorrido de 0 œ Ð  _ß "!! ‘ consideremos 5 œ !ß &"ß (&ß "!! Las curvas de nivel son las gráficas de las ecuaciones "!!  B#  C# œ 5 estasson circunferencias centradas en el origen. 5œ! Ê B#  C# œ "!! 5 œ &" Ê B#  C# œ %* 5 œ (& Ê B#  C# œ #& 5 œ "!! Ê B#  C # œ !

Ej 2.- Trace un mapa de contorno y una gráfica de la función 0 ÐBß CÑ œ È$'  *B#  %C# compárelos.

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Limites y continuidad
Def 4.- Sea 0 una función de dos variables tal que Ð+ß ,Ñ es un punto de acumulación de su dominio HÞ Entonces se dice que el...