FUNCIONES DE DOS VARIABLES

FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
VALORES EXTREMOS Y VALORES RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES
Una función de dos variables f es una regla que asigna a cada par ordenado (x, y) en los reales, un número real z.
z = f(x, y)
Cómo el objetivo del blog es la aplicación del teorema del valor extremo, para funciones de dos variables, asumimos que tenemos claridad con los conceptos básicos de límites yderivadas parciales, para este tipo de funciones.


EL GRADIENTE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES




Donde fx es la derivada parcial de f con respecto a x, fy es la derivada parcial de f con respecto a y. Gradiente f(x, y) = del f(x, y) = fx por el vector unitario i + fy por el vector unitario j.
El símbolo del gradiente es el triangulo invertido, el cual se lee "del"


DERIVADA DIRECCIONAL

Si
U=cosθ i + sen θ j
La derivada direccional de la función f, en el punto de coordenadas P(x, y) en la dirección de U es igual a:
DUf(x, y) =fx(x, y)cosθ +fy(x, y) senθ
Que equivale al producto escalar de




El vector gradiente y el vector (xo, yo) están ambos en el plano xy, y el caso general es que formen un ángulo α diferente de 0.


EXTREMOS ABSOLUTOS Y RELATIVOS DE f(x, y)


Una función f(x, y)tiene un valor máximo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(xo, yo) dentro del dominio, para el cual se cumple que
f(xo, yo) > f(x, y).......... para cualquier par ordenado (x, y) en D.
Una función f(x, y) tiene un valor mínimo absoluto en su dominio D perteneciente a los reales, si existe un punto Q(xo, yo) dentro del dominio, para el cual se cumple que:
f(x,y) > f(xo, yo)............. para cualquier par ordenado (x, y) en D.







Figura 1 Máximo y Mínimo de una función de dos variables.


En la figura 1, si la función es la superficie indicada, que se muestra con una malla gris y el dominio son todos los pares ordenados en el plano xy en el primer cuadrante, dentro de la región limitada por la recta x +y = 5, entonces el punto más bajo es el mínimoabsoluto y el más alto, el máximo absoluto.
Una función f(x, y) tiene un valor máximo relativo en f(xo, yo), si existe un disco abierto ((xo, yo), r) dentro del dominio D, sin importar que tan pequeño sea r, para el cual se cumple que
f(xo, yo) > f(x,y)........... el par ordenado (x, y) está ubicado en la bola abierta.
Una función f(x, y) tiene un valor mínimo relativo en f(xo, yo), si existe undisco abierto ((xo, yo),r) dentro del dominio D, sin importar que tan pequeño sea r, para el cual se cumple que
f(x, y) < f(xo, yo).......... el par ordenado (x, y) está ubicado en la bola abierta.





Figura 2 Máximos y Mínimos relativos
En la figura 2 observamos extremos relativos de una función.


TEOREMA


Si f(x, y) existe en todos los puntos de un disco abierto ((xo, yo), r) y f(xo, yo) esun extremo relativo de la función en ese disco abierto, entonces, si fx(xo, yo) y fy(xo, yo) existen entonces:
fx(xo, yo) =0
fy(xo, yo) =0
Demostración
Sean las funciones de 1 una variable
g(x) =f(x, yo) ......y...... h(y) = f(xo, y)
g’(xo) = fx(xo, yo)....... y......... h’(yo) = fy(xo, yo)
Como fx(xo, yo) y fy(xo, yo) existen, entonces también existen g'(xo) y h’(yo) .
Además si f(xo, yo) es unextremo relativo, esto implica que g(xo) y h(yo) son también extremos relativos de sus respectivas funciones g(x) y h(y) y por tanto:
g’(xo) = 0
y
h’(yo)= = 0 .......y por consiguiente
fx(xo, yo)= 0 ......y....... fy(xo, yo)= 0
Con lo cual queda demostrado el teorema.


DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO EN f(x, y)


Sea Q(xo, yo) un punto en un disco abierto ((xo, yo), r) dentro del dominio D de lafunción f.
Este punto será un punto crítico si se da una de las dos condiciones siguientes:
fx(xo, yo) = 0.... y... fy(xo, yo) = 0... o
fx(xo, yo).... y... fy(xo, yo).................... no existen
Tal cual sucedía con las funciones en una sola variable.

Analicemos las siguientes figuras:





Figura 3 Valores extremos
En las figuras 3 a y 3 b, las funciones f las limitamos a la superficie dibujada....