Funciones De Pares Ordenados

RELACIONES Y FUNCIONES

Ing. Juan Sacerdoti

Facultad de Ingeniería Departamento de Matemática Universidad de Buenos Aires 2002 V 2.01

INDICE 4.- RELACIONES Y FUNCIONES 4.1.- PAR ORDENADO (PO) 4.1.1.- DEFINICIÓN DE PO 4.1.2.- PORQUE LA DEFINICIÓN DE PO 4.1.3.- IGUALDAD DE PO 4.1.4.- TEOREMAS DE PO 4.1.5.- TERNAS Y NUPLAS 4.1.5.1.- TERNAS 4.1.5.2.- NUPLAS 4.1.5.3.- NUPLA DE 1 ELEMENTO4.2.- PRODUCTO CARTESIANO PC 4.2.1.- DEFINICIÓN DE PC 4.2.2.- TEOREMAS DE PC 4.2.3.- PC DE MAS DE DOS CONJUNTOS 4.3.- RELACIÓN (R) 4.4.- RELACIÓN UNIVOCA (RU) 4.5.- FUNCIÓN 4.5.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN 4.5.2.- REDUCCIÓN DE UNA RELACIÓN GENÉRICA A FUNCIÓN 4.5.3.- PORQUE FUNCIÓN 4.5.4.- FUNCIÓN COMPUESTA 4.5.4.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN COMPUESTA 4.5.4.2.- TEOREMAS 4.5.5.- CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES POREL CODOMINIO 4.5.5.1.- INYECTIVA 4.5.5.2.- SURYECTIVA 4.5.5.3.- BIYECTIVA 4.5.6.- FUNCIÓN INVERSA 4.5.6.1.- DEFINICIÓN DE FUNCIÓN INVERSA 4.5.6.2.- TEOREMAS 4.6.- RELACIONES BINARIAS: RELACIONES EN AxA 4.6.1.- RELACIONES REFLEXIVA, SIMÉTRICA, TRANSITIVA Y DE EQUIVALENCIA 4.6.1.1.- RELACIÓN REFLEXIVA 4.6.1.2.- RELACIÓN SIMETRICA 4.6.1.3.- RELACIÓN TRANSITIVA 4.6.1.4.- COMPATIBILIDAD EINDEPENDENCIA DE LAS RELACIONES REFLEXIVA, SIMÉTRICA Y TRANSITIVA 4.6.1.5.- RELACIÓN DE EQUIVALENCIA (RE) 4.6.2.- CLASES DE EQUIVALENCIA (CE) 4.6.2.1.- DEFINICIÓN DE CE 4.6.2.2.- DEFINICIÓN DE CONJUNTO COCIENTE 4.6.2.3.- TEOREMAS DE RE 4.6.3.- RELACIONES A-REFLEXIVA, A-SIMÉTRICA ANTISIMÉTRICA Y DE ORDEN 4.6.3.1.- RELACIÓN A-REFLEXIVA 4.6.3.2.- RELACIÓN A-SIMÉTRICA 4.6.3.3.- RELACIÓN A-TRANSITIVA 4.6.34..-RELACIÓN ANTISIMÉTRICA

4.6.4.- RELACIONES DE ORDEN 4.6.4.1.- RELACIÓN DE ORDEN ESTRICTO (ROE) 4.6.4.2.- RELACIÓN DE ORDEN AMPLIO (ROA) 4.6.4.3.- RELACIÓN DE ORDEN TOTAL 4.6.4.4.- TEOREMAS DE RELACIONES DE ORDEN

4.- RELACIONES Y FUNCIONES 4.1.- PAR ORDENADO (PO) 4.1.1.- DEFINICIÓN DE PO Se llama Par Ordenado o dupla cuyo símbolo es (x y) al conjunto cuyos elementos son a su vez otros dosconjuntos : 1.- el conjunto {x y} que es un par simple 2.- el conjunto {x} de un único elemento Def: (x y) := { {x y} {x} } (x y) : Par Ordenado (PO) x : Primer elemento del PO (Primera componente del PO) y : Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO) Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos Obs 3: Primer y segundoelemento es una forma de llamar a las componentes del PO, porque los números todavía no están definidos. Justamente el concepto de número se definen a partir del PO. {x y} ∈ (x y)

4.1.2.- PORQUÉ LA DEFINICIÓN DE PO La importancia del PO se desprende de la simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede estructurar una red de definiciones con los principales elementos de lamatemática clásica. La fecunda utilización del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia todo comentario: 1.- Producto Cartesiano 2.- Relación 3.- Relación Unívoca 4.- Función 5.- Relación de Equivalencia 6.- Relación de Orden 7.- Número Natural 8.- Número Entero 9.- Número Fraccionario 10.- Estructura Métrica 11.- Número Real 12.- Numero Complejo 13.- Estructura Algebraicas 14.-Leyes de Composición 15.- Estructura Lineal (Vectorial) 16.- Coordenadas Cartesianas 17.- Grafos 18.- Etc Para la definición del PO pilar de la matemática, hace falta solamente la noción previa de conjunto.

Un par simple es un conjunto formado por 2 elementos, cuyo símbolo es {x y} : Par y cumple con la igualdad de conjuntos {x y} = {y x} donde se observa que a los elementos x e y del par no seles asigna ninguna característica particular que les otorgue un papel diferente dentro del Par. Es decir son simplemente y nada mas que elementos del Par. Mientras en el PO a sus dos elementos x e y, se les asigna una característica diferencial, la de ser primer o segundo elemento (componente). La definición de PO se introduce justamente para asignar a cada elemento de un par simple propiedades...