Funciones de primero de bachillerato

Dossier de funcions
Introducció: llenguatge dels intervals.
Nombre

Simbòlicament

Analíticament

Gràficament

Obert i acotat

(a , b)

a xb

      
a
b

Tancat i acotat

a, b

a xb

      
a
b

a, b

a xb

      
a
b

a, b

a xb

      
a
b

 , b

 x  b

      
b

a, 

ax

      
a

 , b

 x  b

      
b

a, 

a x

      
a

Semiobert i acotat

Semiobert i no acotat

Semitancat i no acotat

Definicions:
Anomenem funció real de variable real a tota aplicació f : D     que assigna a cada valor de la
variable independent (generalment “x”) un, i només un únic valor de la variable dependent(generalment
“y”).
∞ Denotarem aquesta relació així: y  f ( x ) .
∞ D ó Dom és el domini de la funció, és el conjunt on la funció està ben definida. Diem que b és la
imatge de a si tenim f (a)  b . Observem que tot element del domini D té una única imatge!
∞ R ó Re c és el recorregut de la funció, és el conjunt de les imatges de la funció. Calcular l’antiimatge
d’un element b és trobar tots elselements del domini D que van a parar a b . Observem que un
element pot no tenir cap antiimatge, tenir una o moltes!
Exemple:
La funció que assigna a cada costat (positiu i expressat en centímetres) d’un quadrat el seu perímetre és:
P  P( x)  4 x on:
∞ El costat és la variable independent: x (cm) i el perímetre és la variable dependent: P (cm).
∞ La imatge de 2 és 8, s’anota: P(2)  4  2  8(Si la base fa 2 cm el perímetre fa 8 cm)
∞ El domini és Dom P  (0, ) ( P està ben definida per tot nombre real positiu x)
∞ El recorregut és Re c P  (0, ) (el perímetre d’un quadrat sempre és positiu)

4

Funcions

Expressió algebraica

Domini

Polinòmiques

p( x )  a n x n  a n1 x n1  ...  a 0

Dom p  

Racionals

f ( x) 

Un polinomi es pot avaluar per totsels nombres reals.

Dom f    q( x )  0

p( x )
on p( x ) i q( x ) polinomis
q( x )

No té sentit dividir entre 0.

Dom g  x  Dom p : p( x )  0

g( x )   2n p( x )

L’ arrel amb índex parell d’un nombre només
té sentit si aquest és major o igual a zero.

Irracionals

Dom h  Dom( p( x ))

h( x )   2n1 p( x )

L’arrel amb índex imparell d’un nombre sempre tésentit!

Exemples. Calculem el domini de les següents funcions:
f ( x)  3x 5  7 x 3  4 x  2 Dom f  
x
∞ g ( x)  2
Dom g    x 2  16  0    x 2  16    x  4
x  16

∞



∞ h( x)  12  3x







Dom h  x   : 12  3x  0  x   : 12  3x

12


 x   :
 x   x   : x  4  (,4]
4



Operacions amb funcions.
En el conjunt deles funcions reals de variable real podem definir diferents operacions:
∞ Addició. La funció suma de f i g és la funció que assigna a cada nombre real x la suma de les
imatges per la funció f i per la funció g : ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)
∞ Subtracció. La funció diferència de f i g és la funció que assigna a cada nombre real x la diferència
de les imatges per la funció f i per la funció g: ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)
∞ Multiplicació. La funció producte de f i g és la funció que assigna a cada nombre real x el
producte de les imatges per la funció f i per la funció g : ( f  g )( x)  f ( x)  g ( x)
∞ Divisió. La funció quocient de f i g és la funció que assigna a cada nombre real x el quocient de les
f
f ( x)
imatges per la funció f i per la funció g :  x  
quang ( x)  0 .
g
g ( x)

∞ Composició. La funció composta de f i g és la funció que assigna a cada nombre real x el valor
f

g ( f ( x)) : x  f ( x)  g ( f ( x)) o bé x g g ( f ( x))
( g  f )( x)  g ( f ( x)) .

∞ Funció inversa. Diem que g és la funció inversa de f si la composició de les funcions dóna la
funció identitat: g ( f ( x))  f ( g ( x))  x i ho anotem: g (...