Funciones de transferencia

2 Función de transferencia

La función de transferencia es la forma básica de describir modelos de sistemas lineales que se emplea en este curso. Basada en la transformación de Laplace, de la que se presentará un breve repaso, permite obtener la respuesta temporal, la respuesta estática y la respuesta en frecuencia. El análisis de distintas descomposiciones de la respuesta temporal permiteadquirir útiles ideas cualitativas, y definir varios importantes conceptos: efectos de las condiciones iniciales, respuestas libre y forzada, regímenes permanente y transitorio. También permite definir el concepto central de estabilidad, y establecer un primer criterio para su investigación.

2.1 La transformación de Laplace La utilidad esencial de la transformación de Laplace reside en supropiedad de convertir ecuaciones diferenciales lineales (en la variable tiempo t) en ecuaciones algebraicas (en la variable compleja s). Se resumen a continuación los conceptos y propiedades más importantes para el objeto de este libro, usando una variante especial de transformación de Laplace que permite tratar funciones del tiempo discontinuas en el origen e impulsos; ver Lathi.

2.1.1 Funcionesbásicas y definiciones Funciones x(t) del tiempo son denominadas frecuentemente señales. Una muy empleada es el escalón unitario u0(t): u0(t) = 0 para t 0 Una señal es causal si x(t) = 0 para t 0, en los casos f 1, realizando un boceto de las mismas. c) Comprobar, por distintos procedimientos, los valores final e inicial de la respuesta a un escalón, y la ganancia estática. d) Obtener la respuestatemporal a una entrada u (t ) = cos(ωt ) , y condiciones iniciales nulas. e) Comprobar que el régimen permanente de la anterior coincide con la respuesta en frecuencia, si el sistema es estable.

P2.3 En un sistema consistente en una autoinducción ideal (es decir, sin resistencia; supóngase una bobina superconductora) L, se considera como entrada la tensión aplicada, y como salida la intensidadresultante. Las conclusiones de este problema pueden resultar algo sorprendentes para alguien acostumbrado a manejar circuitos. a) Obtener la respuesta temporal a una entrada u (t ) = sen(ωt ) , para una intensidad inicial I 0 b) Indicar el régimen permanente de la anterior respuesta, y si coincide con la respuesta en frecuencia. ¿Por qué?

P2.4 Se dan las siguientes respuestas impulsionales detres sistemas distintos. Hacer un boceto de estas respuestas. Dar las funciones de transferencia de los sistemas. Obtener sus respuestas a un escalón. Indicar las ganancias estáticas de los sistemas estables. a) 5e −5t

37

REGULACIÓN AUTOMÁTICA

b) 10 sen(2t ) c) 0,2e −10t sen(5t )

P2.5

Dada la función de transferencia: F ( s ) =

s 2 + 25 s (1 + 2 s ) 2

a) Indicar si esestable BIBO Para las condiciones iniciales y (0 − ) = 1, y ' (0 − ) = −2, y ' ' (0 − ) = 0 : b) Respuesta libre del sistema. Dar su régimen permanente. Para la entrada , u (t ) = 1 − cos(5t ) y condiciones iniciales nulas: c) Respuesta forzada. Dar su régimen permanente. Dar los términos y u (t ); y a (t ) y discutir el resultado. Respuesta en frecuencia: d) Discutir qué sentido tiene aquí estarespuesta. e) Obtener el módulo y la fase de la respuesta en frecuencia en función de ω f) Particularizar lo anterior para ω = 0, 1, 5, 100. P2.6 a) e) i) Señalar si cada uno de los siguientes sistemas es estable BIBO: b) f)
1 (1 + 2 s )(1 + 10s )

1 ( s + 2)( s + 10) 1 − 10s 1 + 4 s + 4s
2

c)
1

1 + 2s s (1 + 5s )

d)

1 − 5s (1 + 2 s )(1 − 2 s )

1 + 4s s + 25
2

g)

s − 2 s +25
2

h)

1 − 2s s + 2 s + 25
2

(1 − 2 s )(1 + 4 s ) (1 + 10s )( s + 2 − 3 j )( s + 2 + 3 j )

j)

(1 − 2s ) (1 + 10s )(1 − 2s )

P2.7

Para el sistema consistente en un retardo F ( s ) = e −0, 2 s

a) Dibujar la respuesta impulsional y la respuesta a un escalón. b) Discutir si el sistema es estable. c) Módulo y fase de la respuesta en frecuencia. Interpretar este resultado,...