Funciones De Una Variable. Diferenciación Y Aplicaciones.

Tema 5. Funciones de una variable. Diferenciación y aplicaciones.
5.1 Funciones de una variable: límites y continuidad. 5.2 Derivada de una función. Aplicaciones. 5.3 5 3 Derivación implícita implícita. 5.4 Resolución numérica de ecuaciones: método de Newton. 5.5 Diferencial. 5.6 Polinomios de Taylor. o o os ay o . 5.7 Ejercicios propuestos. Apéndice: Funciones hiperbólicas
E.U.Politécnica deSevilla. Fundamentos Matemáticos de la Ingeniería. Especialidades de Electrónica, Mecánica y Electricidad. Curso 2007-08.

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5.1 Funciones de una variable: límites y continuidad
Definición Si f ( x) se hace arbitrariamente próximo a un único número L cuando x se aproxima a c por ambos lados, decimos que el límite de f ( x) cuando x tiende i b l d d i l lí it d d ti d a c es L, y escribimos:lim f ( x) = L
x →c

Proposición Si b y c son números reales, n un número entero y f y g funciones que tienen límite lí it cuando x → c, entonces: d t 1) lim[bf ( x)] = b[lim f ( x)]
x →c x →c

2) lim[ f ( x) ± g ( x)] = lim f ( x) ± lim g ( x) li [ li li
x →c x →c x →c

3) lim[ f ( x)gg ( x)] = lim f ( x)glim g ( x)
x →c x →c x →c

4) lim[ f ( x) / g ( x)] = lim f ( x) / lim g ( x), (lim g ( x) ≠ 0)
x →c x →c x →c x →c

5) lim[ f ( x)]n = [lim f ( x)]n
x →c x →c

6) lim g ( x) = L y lim f ( x) = f ( L ), entonces lim f ( g ( x)) = f ( L)
x →c x→L x →c

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Proposición Si f es una función y si c y L son números reales, el límite de f ( x) cuando f ió i ú l l lí i d d x → c es L si si sólo si lim f ( x) = lim f ( x) = L − +
x →c x →c

Definición D fi i ió a) Unafunción f es continua en un punto c si: f (c) está definida, existe lim f ( x) y lim f ( x) = f (c). ), )
x →c x →c

b) Una función f es continua en un intervalo (a, b) si lo es en todos los puntos puntos del intervalo. intervalo

Observación 1) f es continua si lo es en toda la recta real ti il t d l t l 2) f es discontinua en c si f esta definida en un intervalo que contiene a c (exceptoquizás en x = c) y f no es continua en c. 3) Las discontinuidades se dividen en dos categorias: evitables y no evitables. 4) Una discontinuidad en x = c es evitable si f puede hacerse continua redefiniéndose en x = c.
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Definición Una función f es continua en el intervalo [a, b] si es continua en el intervalo (a, b) y además lim+ f ( x) = f (a ) y lim f ( x ) = f (b). −
x →a x →b

Observación :la función f se dice que es continua por la derecha en x = a y continua por la izquierda en x = b. i l i i d
Proposición Si b es un número real y f y g son continuas en x = c, tambien son continuas en c las funciones: 1) bf 2) f ± g 3) f gg 4) f / g si g (c) ≠ 0.

Proposición Si g es continua en c y f lo es en g (c), la función compuesta dada por f o g es continua en x = c : lim f ( g ( x)) = f( g (c)).
x →c

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Ejemplo 1 I di el dominio y el recorrido de la f ió f ( x). Ej l 1: Indica l d i i l id d l función ) a) f ( x) = x − 1 b) f ( x) = tg x ⎧ 1 − x si x < 1 ⎪ c) ⎨ i ⎪ x − 1 si x > 1 ⎩

Ejemplo 2: Expresa la función f ( x) = x + x − 2 sin usar el símbolo del valor j p p absoluto.
Ejemplo 3: Sea f la función cuya gráfica se muestra en la figura. 3: figura a) Determina f (x). b) Usando la g ) gráfica de f dibuja la gráfica de la funciones siguientes: j g g 1) f ( x − 4) 2) f ( x + 2) 3) f ( x) + 4 4) f ( x ) − 1 5) 2f ( x) 6)
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f ( x).

Ejemplo 4: Calcula los siguientes límites: x3 − 1 a) lim x →1 x − 1 b) lim
x →0

x +1 −1 x

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Ejemplo 5: Calcula los siguientes límites: a) lim 1 − cos x x →0 x b)
x →−3

lim−

x x2 − 9

c) lim +
x→2

x−2x−2

Ejemplo 6: Calcula el siguiente límite: f ( x + h) − f ( x ) 4 lim , siendo f ( x) = h →0 h x
Ejemplo 7: Sea f ( x) = x . Determina el dominio de f y los puntos de x −x discontinuidad. ¿Hay alguna discontinuidad evitable?.
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Ejemplo 8: Calcula los valores de a y b para los cuales la función f es continua en toda la recta real. real x ≤ −1 ⎧ 2 ⎪ f ( x) = ⎨ax + b −1 < x < 3 ⎪ −2 3≤ x ⎩...