Funciones de una variable real

FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE REAL .
(Material preparado por Mauro Hernán Henríquez y Marta Lidia Merlos, Departamento
de Matemática, UCA ).

1. INTRODUCCION

Se usa el termino función para denotar la dependencia de una cantidad con respecto a otra.
Por ejemplo:

El área A de un cuadrado depende de la longitud l de su lado según la ecuación : A=l2 . Se dice que el área A es función de l(la longitud del lado).

El volumen V de una esfera depende de r , la longitud de su radio, según la formula . Decimos que el volumen V es función del radio r.

En cada caso se da una regla de correspondencia (una ecuación o una fórmula) mediante la cual a cada valor de la variable l ( ó r ) se le asigna un valor al área A (ó al volumen V) y decimos que l (ó r ) es la variable independiente yA (ó V ) es la variable dependiente
NOTA: Designaremos las funciones con letras minúsculas: f, g.

2. FUNCION REAL DE UNA VARIABLE REAL.
2.1 DEFINICION DE UNA FUNCION

DEFINICIÓN: Una función f es una regla de correspondencia mediante la cual a cada elemento x de un conjunto A se le asigna uno y solo un elemento y de un conjunto B

En general A, B no necesitan ser conjuntos de números reales;sin embargo sólo trataremos funciones en la que A y B son ambos subconjuntos de los números reales. Tales funciones son las que llamamos funciones reales de una variable real.

2.2 TERMINOLOGIA ASOCIADA CON UNA FUNCION .

En la definición anterior A se le llama dominio y B se llama codominio de f.

Si decimos que la función f esta definida en S.

Si , entonces y = f ( x ) denota elúnico elemento en B que la función f asocia a x, (se lee: y es igual a f de x o bien: y es el valor de f en x). En este caso x es la variable independiente; y es la variable dependiente.

Al conjunto de todos los valores posibles de la variable dependiente y (o f(x) ) conforme x varia en el dominio, se le llama rango de f

DIAGRAMA DE FLECHAS



2.3 MANERAS DE ESPECIFICAR UNA FUNCIÓN.

Una funciónpuede especificarse así:
Haciendo una descripción de ella o

Estableciendo : su regla de correspondencia, (esto es una ecuación o fórmula para evaluarla) y
Su dominio natural D, (esto es el conjunto de todos los valores de la variable independiente para los cuales la regla de correspondencia origina un numero real).

NOTA: Si sólo se da la regla de correspondencia y no se especifica su dominio,asumimos que se trata de su dominio natural.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

En los ejercicios 1, 2 formule la regla de correspondencia y establezca el dominio natural para la función descrita.
1. La función f asigna a un numero real, el valor de su segunda potencia
2. La función g hace corresponder a un numero real, su valor recíproco.

SOLUCIÓN

Para 1: IR Para 2: IR – {0 }

Así : f ( 2 ) = 22 = 4 Así :

f (- 2 ) = (-2 )2 = 4


3.GRÁFICA DE UNA FUNCION
El método más común para visualizar una función es su gráfica.

Definición. La gráfica de una función f es el conjunto de todos los puntos ( x, y ) en el plano cartesiano, cuyas coordenadassatisfacen la fórmula o ecuación que define a f.

En símbolos: Gráfica de f =
ADVIERTA:
Si entonces:

pertenece a la gráfica de f porque y

no pertenece a la gráfica de f porque pero y .

Si , entonces:
pertenece a la gráfica de g porque y
no pertenece a la gráfica de g porque

NOTA: No toda curva en el plano x-y esla gráfica de una función. Esta última se caracteriza geométricamente porque toda recta vertical que la corta lo hace exactamente en un punto.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
A) Curva que es la grafica B) Curva que no es la grafica
de una función de una función









A Xo le corresponden dos...