Funciones de variable compleja-Carlos Ivorra Castillo

Páginas: 684 (170867 palabras) Publicado: 20 de noviembre de 2014
Carlos Ivorra Castillo

FUNCIONES DE
VARIABLE COMPLEJA
´
CON APLICACIONES A LA TEOR´
IA DE NUMEROS

El camino m´
as corto entre dos verdades del
an´
alisis real pasa por el an´
alisis complejo.
Jacques Hadamard

´Indice General
Introducci´
on

ix

Cap´ıtulo I: El plano complejo
1.1 Funciones de variable compleja . . . .
1.2 Transformaciones de M¨
obius . . . . . .
1.3Las funciones trigonom´etricas inversas
1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 ´Indices de arcos cerrados . . . . . . . .

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1
38
12
17
21

Cap´ıtulo II: Funciones holomorfas
25
2.1 Derivaci´
on de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 La integral curvil´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 El teorema y las f´
ormulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Cap´ıtulo III: Series de Taylor
3.1 Series . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Convergencia casiuniforme . . . .
3.3 Series de potencias . . . . . . . . .
3.4 Consecuencias de los desarrollos de

. . . .
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. . . .
Taylor

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50
56
62
68

Cap´ıtulo IV: Productos infinitos
4.1 Productos num´ericos. . . . . . . . . .
4.2 Productos de funciones . . . . . . . . .
4.3 Factorizaci´
on de funciones holomorfas
4.4 N´
umeros de Bernoulli . . . . . . . . .
4.5 La f´
ormula de Stirling . . . . . . . . .

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. 84
. 91
. 99
. 106

Cap´ıtulo V: El teorema de Cauchy
5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . .
5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . .
5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . .
5.4 Clasificaci´
on de singularidades aisladas
5.5 Funciones peri´
odicas . . . . . . . . . .
5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . ..
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v

111
111
116
120
126
133
139

´INDICE GENERAL

vi

Cap´ıtulo VI: La funci´
onfactorial
145
6.1 Construcci´
on de la funci´
on factorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Otras expresiones para la funci´
on factorial . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Cap´ıtulo VII: Series de Dirichlet
7.1 Convergencia de las series de Dirichlet
7.2 Funciones aritm´eticas . . . . . . . . .
7.3Permutaciones circulares . . . . . . . .
7.4 El teorema de Dirichlet . . . . . . . .
7.5 La distribuci´
on de los n´
umeros primos

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169181
184
194

Cap´ıtulo VIII: El teorema de los residuos
8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Aplicaciones al c´
alculo de integrales .
8.3 El teorema de Rouch´e . . . . . . . . .
8.4 Sumas de Gauss cuadr´
aticas . . . . . .

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