Funciones de variable real

Funciones de variable real
Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.

Si la función f tiene límite L en c podemos decir de manera informal que la función f tiendehacia el límite L cerca de c si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x esté suficientemente cerca de c siendo x distinto de c.

Los conceptos cerca y suficientementecerca son matemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:

El límite de una función f(x), cuando x tiende a c esL si y sólo si para todo \varepsilon > 0 \; existe un \delta > 0 \; tal que para todo número real x en el dominio de la función 0 < |x-c| < \delta \Rightarrow |f(x)-L| < \varepsilon.

Esto, escritoen notación formal:

\begin{array}{l} \underset {x\to c}{\lim} \, \,f(x) = L \iff \forall \varepsilon > 0 \ \ \exists \delta > 0 / \forall x \in \operatorname{Dom}(f), 0 0 existe un δ(ε) > 0tal que, para todo x:

si 0 < \left| x - c \right| < \delta , entonces \left| f\left(x\right) - L \right| < \epsilon

De la desigualdad 0 < | x - c | < δ se obtiene lo siguiente:

x pertenecea la vecindad ( c - δ , c ) U ( c, c + δ ).
x no es igual a c, pues 0 < | x - c | implica x distinto de c.
La solución de | f(x) - L | < ε pertenece al intervalo ( L - ε , L + ε ).

Estoproporciona la clave de comprensión del concepto de límite, pues mientras que el valor de x está en la vecindad horizontal alrededor del punto c y agujereada en c con radio delta y centro c, aun cuandoen ese punto c no esté definida, el valor de y está en el intervalo vertical con centro en f(c) y radio épsilon.
[editar] Unicidad del límite

Teorema. Si el límite de una función existe,entonces es único.

Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.4

Supongamos que \textstyle \lim_{x\rightarrow c}f(x)=L , veamos que no puede ser que L'\neq L también verifique la...