Funciones De Variable Real

Funciones de variable real

Visualización de los parámetros utilizados en la definición de límite.
Si la función  tiene límite  en  podemos decir de manera informal que la función  tiende hacia ellímite  cerca de  si se puede hacer que  esté tan cerca como queramos de  haciendo que  esté suficientemente cerca de  siendo  distinto de .
Los conceptos cerca y suficientemente cerca sonmatemáticamente poco precisos. Por esta razón, se da una definición formal de límite que precisa estos conceptos. Entonces se dice:
El límite de una función f(x), cuando x tiende a c es L si y sólo si paratodo  existe un  tal que para todo número real x en el dominio de la función .
Esto, escrito en notación formal:


Tomando valores arbitrarios de ε, podemos elegir un δ para cada uno de estos, de modo que f(x)y L se acerquen a medida que x se acerca a c.
Esta formulación estricta del concepto de límite de una función real en un punto de acumulación ( o punto límite) del dominio de la función , se debe almatemático francés Luis Cauchy. 4
Lo importante es comprender que el formalismo no lo hacen los símbolos matemáticos, sino, la precisión con la que queda definido el concepto de límite. Esta notaciónes tremendamente poderosa, pues, nos dice que si el límite existe, entonces se puede estar tan cerca de él como se desee. Si no se logra estar lo suficientemente cerca, entonces la elección del δ noera adecuada. La definición asegura que si el límite existe, entonces es posible encontrar tal δ.
Veamos un ejemplo. Supongamos que se quiere demostrar que  El cálculo de este límite surge por simplesustitución, esto se debe a que la función afín es continua.
[Expandir]Demostración
Hay casos como por ejemplo la función de Dirichlet  definida como:

donde no existe un número c para el cual exista .Por lo tanto, para demostrar la anterior afirmación es necesario hacer uso del hecho de que cada intervalo contiene tanto números racionales como irracionales.
En un caso análogo sí existe. Se...