Funciones De Varias Variable. Límites Y Continuidad

Funciones de varias variables (I) 11
TEMA 2 - FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES (I):
LÍMITES Y CONTINUIDAD
1. Conceptos topológicos previos en el espacio euclídeo Rn.
Sea Rn el espacio euclídeo de ndimensiones. Un punto a de dicho espacio estará
definido por sus n coordenadas: (a1 , a2 ,..., an ) .
NOTA:
Cuando n=2, las coordenadas se denotarán, indistintamente, por (x,y) o por ( , ) 1 2 x x.
Cuando n=3, las coordenadas se denotarán, indistintamente, por (x,y,z) o por
( , , ) 1 2 3 x x x .
Definición.
Denominaremos distancia (euclídea) entre dos puntos cualesquiera
a=(a1 , a2 ,...,an ) y b= (b1,b2 ,...,bn ) al valor:
( ) å
=
= -
n
k
d ak bk
1
2 (a, b)
Definición.
Siendo v un vector de Rn de componentes (v1, v2 ,..., vn ) , se denomina norma
(euclídea) del vector v alvalor:
å=
=
n
k
k v v
1
|| || 2
Propiedades.
1º) d(a,b) =|| a - b ||
2º) d(a,b) = 0Û a º b,"a,bÎ Rn
d(a,b) = d(b,a),"a,bÎ Rn (simetría)
d(a,b) £ d(a,c) + d(c,b),"a,bÎ Rn (desigualdadtriangular)
3º) || v ||= 0Û v º 0
|| l.v ||=| l. | . || v ||,"l Î R ,"vÎ Rn
|| v + u ||£|| v || + || u ||,"v,u Î Rn (desigualdad triangular)
Definiciones.
· Siendo a=( , ,.... ) 1 2 n a a a un puntode Rn y dado un valor e real positivo, se
denomina bola abierta de centro a y radio e al conjunto de todos los puntos x de
Rn tales que d(a,x) < e :
B(a,e ) ={xÎRn / d(a, x) 0 para el que B(a,e )ÇC= {f}. Al conjunto de todos los puntos
exteriores de C se le denomina exterior de C.
Siendo C un subconjunto de Rn , se dice que a es un punto frontera de C si para
todos los valores e >0 severifica B(a,e ) Ë C y B(a,e )ÇC ¹ {f} Al conjunto de
todos los puntos frontera de C se le denomina frontera de C. Un conjunto que
incluya todos sus puntos frontera se denomina conjunto cerrado.Definición.
Un conjunto C de Rn se denomina acotado si existe una bola abierta de radio finito
que lo contenga.
Definición.
Un conjunto C de Rn se denomina conexo si todo par de puntos de C puede...