Funciones de varias variables (introducción)

Introducción a las funciones de varias variables (2010)

Funciones de varias variables.
1. Definición.
Hasta ahora se han estudiado funciones de la forma y = f (x) ,

f :D ⊂

→

Estas funciones recibían el nombre de funciones reales de variable real ya que su valor y es un número real que dependía de una sola variable x (también un número real). En este apartado se estudian funcionescuyo valor depende de más de una variable real. Estas funciones reciben el nombre global de funciones de varias variables o funciones de variable vectorial. Algunos ejemplos de las mismas son:

EJEMPLO 1:

f ( x, y ) = 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 ) ; g ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 ) son funciones reales de dos y tres variables respectivamente. El resultado de laaplicación de estas funciones es un número real por eso se llaman funciones reales de variable vectorial. r r f ( x, y ) = (3 x 2 + xy 3 ,3 x + 2 y, x + y + 1) ; g ( x1, x2 , x3 ) = ( x1 + 3x2 , x1x2 , cos ( x1x3 ),2 y − xy 3 )

también son funciones de varias variables pero aquí el resultado de la función es un vector por eso se llaman funciones vectoriales de variable vectorial.

Paraestablecer claramente esta idea de función de varias variables se da la siguiente:
Definición 1. Se denomina función de varias variables con dominio de definición D ⊂ con n > 1 entero y m entero, a cualquier aplicación de la forma: r f :D ⊂ n → m
n m n

,

NOTAS: 1.- Estas funciones también se denominan funciones de variable vectorial donde:

-

es el conjunto inicial. es el conjunto final.- D ⊂ n es el dominio de la función. r - f (D) ⊂ m es el recorrido de la función. 2.- Cuando m = 1 la función se llama función real de variable vectorial o, de forma más breve, campo escalar (esta nomenclatura se utiliza sobre todo en física). 3.- Cuando m > 1 la función recibe el nombre de función vectorial de variable vectorial o campo vectorial. El valor r m se denomina dimensión de la función.En ese caso la función se representa por el símbolo f (esto es, se coloca una flechita sobre la letra que le da nombre).

EJEMPLO 2: En el ejemplo anterior se han presentado:

f ( x, y) un campo escalar de dos variables.

1

Introducción a las funciones de varias variables (2010)
g ( x1, x2 , x3 ) un campo escalar de tres variables. r f ( x, y) un campo vectorial de dos variables ydimensión tres. r g ( x1, x2 , x3 ) un campo vectorial de tres variables y dimensión cuatro.

Existen situaciones del mundo real que se estudian mediante funciones de este tipo. Así, la función que a cada punto ( x, y, z ) de una habitación con calefacción le hace corresponder su temperatura es un campo escalar de tres variables. Y la función que a cada punto ( x, y, z ) de una sala ventilada lehace corresponder un vector que representa la velocidad del aire (en magnitud y dirección) en dicho punto es un campo vectorial de dimensión tres y tres variables.

de

n

4.- Cuando no se especifica el domino de definición D se entiende que el mayor subconjunto para el que la función tenga sentido.

5.- Para completar todas las posibilidades hay que hablar de las funciones vectoriales de rvariable real que se ajustan a un esquema de la forma: f : D ⊂ → m . En general representan curvas en un espacio de dos o más dimensiones. 6.- Formas de expresión: en este apartado se estudiarán, sobre todo, campos escalares de dos o tres variables. Estas funciones suelen venir expresadas de dos formas: 6.1.- Forma explícita donde la función se presenta del modo expuesto anteriormente:
f ( x, y )= 3 x 3 + xy + sen (2 x + 7 y 2 ) , que a veces se suele expresar de la forma

f ( x, y) = z con z = 3x 3 + xy + sen(2 x + 7 y 2 )
g ( x1 , x2 , x3 ) = x1 + 3 x2 + x1 x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 ) , que también se expresa como g ( x1 , x2 , x3 ) = w con w = x1 + 3 x2 + x1x2 + 5 ln ( x1 + x2 + x3 )

6.2. Forma implícita, donde el valor de la función z se presenta por medio de una ecuación con...