Funciones de varias variables
de varias variables
Josep Freixas Bosch
P01/75005/00103
© FUOC • P01/75005/00103
Las funciones de varias variables
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Indice
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Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .
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1. Contenidos basicos de las funciones de varias variables . .
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1.1. Ejemplos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.2. Algunas definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.3. Entornos. Conjuntos abiertos o cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
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1.3.1. Bolas y entornos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.4. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.5. Mapas de alturas y curvas de nivel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2. Diferenciabilidad con varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.2. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2.3.1. El vector gradiente y las derivadas direccionales . . . . . . . .
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2.4. Derivadas parciales de ordensuperior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
2.5. La regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
2.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
2.7. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3. Extremos de funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.1. Extremos locales o relativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
3.2. Extremos absolutos sobre conjuntos compactos . . . . . . . . . . . . . . .
54
3.3. El m´ todo de los multiplicadores de Lagrange . . . .. . . . . . . . . . . . .
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3.4. Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Ejercicios de autoevaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Solucionario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Glosario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Sumario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Bibliograf´a . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Introduccion
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Las funciones de una variable, que se han presentado en los tres ultimos
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modulos, son una idealizacion conveniente de un gran numero de situaciones, pero si queremos pensar en ejemplos de funciones que est´ n
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