Funciones De Varias Variables

Funciones de varias variables.

PROBLEMAS RESUELTOS 1 (continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables)
PROBLEMA 1 Estudiar la continuidad de la función:
 x2 y  f ( x, y ) =  x 2 + y 2  0  ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares:

 x = ρ cos (θ )    y = ρsen (θ )  Así:
l=
( x , y ) → (0,0)

lim

f ( x, y ) = lim

ρ 3 cos 2 (θ ) sen (θ ) = lim ρ cos 2 (θ ) sen (θ ) = 0 2 ρ →0 ρ →0 ρ
f ( x, y ) = f (0, 0) = 0 .

de donde se sigue que la función dada es continua en el origen, ya que
( x , y ) →(0,0)

lim

1

Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.

PROBLEMA 2

Estudiar la continuidad de la función:
x+y  f ( x, y ) =  x − y  0  SOLUCIÓN

( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)

Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares:
 x = ρ cos (θ )    y = ρ sen (θ ) 

Así:

l=

( x , y ) → (0,0)

lim

f ( x, y ) = lim
ρ →0

ρ cos (θ ) + ρ sen (θ ) cos (θ ) + sen (θ ) = ρ cos (θ ) − ρ sen (θ ) cos (θ ) − sen (θ )

Por tanto, el límitedepende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la función dada no es continua en el origen.

2

Funciones de varias variables.

PROBLEMA 3

Estudiar la continuidad de la función:
 x2 y2  f ( x, y ) =  x 2 y 2 + ( x − y ) 2  0  ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN

El origen es el punto en el que la definición de la función cambia, por tanto, es en esepunto donde debemos estudiar si se pierde la continuidad o no. Para ello, estudiamos la existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto. Si construimos la curva paramétrica x = t   y = t h(t ) donde lím th(t ) = 0 , entonces:
t →0

l=

( x , y ) → (0,0)

lím

f ( x, y ) = lím

t 2t 2 h 2 (t ) t 2 h 2 (t ) = lím 2 2 t → 0 t 2 t 2 h 2 (t ) + (t − th(t )) 2 t → 0 t h (t ) + (1 − h(t)) 2

por ello, si si si 0 =0 1 h(t )− > ∞ => l = 0 h(t ) → 0 => l = h(t )− > k ≠ 0 => l = 0 (1 − k ) 2

Nos encontramos con la duda sobre el valor del límite l cuando h(t) es una función tal que lim h(t ) = 1 . Para solventar este problema estudiamos algún caso particular de
t →0

función h(t), por ejemplo, tomando h(t)=(1-t). En tal caso, l = lim
t →0

t 2 (1 − t )
2

2

t 2 (1 −t ) + t 2

(1 − t ) = 1 ≠ 0 . = lim 2 t →0 (1 − t ) + 1 2
2

Del resultado obtenido deducimos que no existe el límite doble de f(x,y) en el origen y, por tanto, la función dada no es continua en (0,0).

3

Ingeniería Técnica de Obras Públicas. Construcciones Civiles.

PROBLEMA 4

Estudiar la continuidad de la función:
 y2  f ( x, y ) =  x 2 + y 2  0  ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y )= (0, 0)

SOLUCIÓN

Planteamos el estudio del límite en el origen realizando un cambio a coordenadas polares:  x = ρ cos (θ )    y = ρ sen (θ )  Así: l=
( x , y ) → (0,0)

lim

f ( x, y ) = lim

ρ 2 sen 2 (θ ) = sen 2 (θ ) 2 ρ →0 ρ

Por tanto, el límite depende de θ , de donde se sigue que no existe límite doble y que la función dada no es continua en el origen.

4Funciones de varias variables.

PROBLEMA 5

Estudiar la continuidad de la función:
 x3 + y 3  f ( x, y ) =  x 2 + y 2  0  ( x, y ) ≠ (0, 0) ( x, y ) = (0, 0)

SOLUCIÓN

Debemos estudiar la continuidad de la función en el origen. Para ello, estudiamos la existencia del límite doble de f(x,y) en dicho punto. Si construimos la curva paramétrica x = t   y = t h(t ) donde lím th(t ) = 0 ,entonces:
t →0

l=

( x , y ) → (0,0)

lím

f ( x, y ) = lím

t 3 + t 3 h3 (t ) t + th3 (t ) = lím t → 0 t 2 + t 2 h 2 (t ) t → 0 1 + h 2 (t )

por ello,
si h(t ) → 0 => l = 0 =0 1
2

si

si

t + t h(t ) 0 h (t ) h(t )− > ∞ => l = lim = =0 t →0 1 1 +1 2 h (t ) 0 h(t )− > k ≠ 0 => l = = 0 1

Así, se concluye que el límite doble de la función vale l = 0. Por tanto, la función...