Funciones De Varias Variables

Funciones de varias variables
El deseo de abordar problemas del mundo real, nos conduce a tomar en cuenta que, en general, cualquier situación o fenómeno requiere de más de una variable para su precisa descripción. Por ejemplo, el volumen de un cilindro depende del radio de la base y de su altura; la posición de un móvil en un momento determinado requiere para su exacta especiación, además deltiempo, de las tres coordenadas espaciales. Si adicionalmente se requiere la velocidad a la cual se desplaza, tendremos una función vectorial f que a cada vector de cuatro componentes (ubicación espacial y tiempo) le asigna la velocidad
V del móvil en ese punto y en ese instante:
f(x; y; z; t) = v
Observamos entonces que de acuerdo con la situación especifica que queramos describir, requerimos eltipo de función adecuada. Según si el dominio D y el rango R son subconjuntos de R; R2 o R3 las funciones se clasifican de la siguiente forma:
Función Nombre
Monografias.com
En cada caso, donde aparece R3 lo podemos sustituir por R2 y el nombre se conserva.
Las denominaciones escalar o vectorial se refieren a si la imagen de la función es un
numero o es un vector.
Ejemplo: la función g estadefinida por
g (x, y, z) = x2+y2-z
entonces el paraboloide circular z= x2+y2, mostrado en la figura, es la superficie de nivel de g en 0. La superficie de nivel de g en el numero k tiene la ecuación z + k = x2 + y2 , un paraboloide circular cuyo vértice es el punto (0,0 –k) sobre el eje z. en al figura muestra las superficies de nivel para k igual a -4,-2, 0, 2 y 4
Monografias.com
Ejemplo: Supongamos quetenemos una placa metálica de grandes dimensiones. La temperatura (en grados centígrados) de la placa es función de las coordenadas de cada uno de sus puntos y viene dada por:
T(x, y) = 500 - 0,6x2 - 1,5y2
Monografias.com
Representación grafica de la función T(x, y)
Método para hallar el dominio
Para hallar el dominio despejamos (y) y analizamos el comportamiento de (x). Al hacer este despejepodemos considerar tres casos:
i. La (x) hace parte del denominador de una fracción. Dé un ejemplo.R: Sea la relación R = {(x, y) / 2xy - 3y - 5 = 0} definida en los Reales.
ii. Despejar(y)
Monografias.com
¿Qué valores debe tomar (x) (en el denominador) para que sea diferente de cero?
R/:
Monografias.com
Cómo se halla el dominio de una relación, cuando la (x) queda en el denominador al despejar(y).R: Si al despejar (y) en una expresión (en una relación), encontramos que la (x) hace parte del denominador de una fracción, entonces para determinar el dominio de dicha relación hay que hacer que el denominador sea diferente de cero y se despeja la (x).
Método para hallar el Rango
Como ya se dijo el rango es el conjunto formado por aquellos elementos del conjunto de llegada que están relacionadoscon algún elemento del conjunto de partida. Para encontrar el Rango de una relación en los reales, despejamos (x), analizamos el comportamiento de (y) y hacemos un análisis similar al que hicimos para encontrar el dominio.
Sea la relación R = {(x, y) / 3x2 + 4y2 = 12}, para ésta hallar el dominio y rango.Con sólo observar la ecuación diga ¿qué clase de relación real representa? ¿Por qué?
R:Representa una elipse. Porque los coeficientes de x2 y de y2 son positivos y diferentes.
Hallar el dominio.
Monografias.com
Vemos que la (x) hace parte de un radical par
Monografias.com
Solucionamos una desigualdad cuadrática
Monografias.com
Hallar el rango.R:Monografias.com
La "y" hace parte de un radical par. Por lo tanto:
Monografias.com
Curvas de nivel
Cuando tenemos una función z = f(x, y) de dosvariables reales y valor real, la gráfica de dicha función corresponde al conjunto gr (f):= {(x, y, f(x, y)): (X, y) ,¬ Dom (f)}. Al ubicar dichos puntos en el espacio R3, obtenemos una superficie en dicho espacio.
Una forma de estudiar dicha superficie, aunque en dos dimensiones, es considerar la intersección de dicha superficie con el plano z = k, donde k ,¬ Recorrido (f). De esta manera,...